Resolver cuadrática completando el cuadrado
Resuelva una ecuación cuadrática como en clase: x² − 6x + 5 = 0 se convierte en (x − 3)² = 4 y da las raíces 1 y 5. Verá también lo que se suma a ambos lados y el cuadrado completo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- Ecuación
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Ecuación mónica
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Término lineal mónico
- -6
- Constante mónica
- 5
Resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado es el método de aula que reescribe a por x al cuadrado más b por x más c igual a cero como un cuadrado perfecto trasladado igual a una constante y, a continuación, extrae raíces cuadradas reales. Esta calculadora acepta los tres coeficientes finitos a, b y c, rechaza un coeficiente principal nulo porque el enunciado dejaría de ser cuadrático, y rechaza un segundo miembro negativo tras completar el cuadrado porque esas raíces serían complejas y no reales. Cuando el cuadrado completado es no negativo, la herramienta devuelve las raíces reales ordenadas junto con el término lineal mónico, el cuadrado añadido, la identidad del cuadrado completado y una fórmula breve que usted puede imprimir junto a la respuesta. Las comprobaciones clásicas incluyen x al cuadrado menos seis x más cinco, que pasa a ser el cuadrado de x menos tres igual a cuatro con raíces uno y cinco; dos x al cuadrado menos ocho x más seis, que pasa a ser el cuadrado de x menos dos igual a uno con raíces uno y tres; y x al cuadrado más uno, que falla como par complejo.
Cómo completar el cuadrado produce las raíces reales
Completar el cuadrado resuelve a por x al cuadrado más b por x más c igual a cero obligando al primer miembro a convertirse en un cuadrado trasladado, en lugar de recitar de memoria la fórmula cuadrática. Primero el coeficiente principal debe ser no nulo; si a es cero el enunciado es lineal y este método no aplica. Divida cada término entre a para que la ecuación quede mónica: x al cuadrado más b entre a por x más c entre a igual a cero.
Pase la constante al segundo miembro, dejando x al cuadrado más b entre a por x a la izquierda. La mitad de ese coeficiente lineal mónico es b entre dos a; sume el cuadrado de esa mitad a ambos lados. El primer miembro es entonces el cuadrado perfecto de x más b entre dos a, y el segundo se simplifica algebraicamente a b al cuadrado menos cuatro a c, todo entre cuatro a al cuadrado.
Ese segundo miembro debe ser no negativo para que haya raíces reales. Cuando es estrictamente positivo aparecen dos raíces reales: menos b entre dos a más o menos la raíz cuadrada del segundo miembro. Cuando es exactamente cero, el cuadrado se colapsa en una raíz real repetida en el vértice de la parábola.
Las identidades usadas son puramente algebraicas, así que los mismos tres números producen siempre la misma cadena de cuadrado completado y las mismas raíces ordenadas, sin semillas aleatorias, relojes ni llamadas de red en el camino.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Cuando a es cero el manejador rechaza la petición porque completar el cuadrado es un método para cuadráticas genuinas, no para enunciados lineales o constantes. Cuando el segundo miembro del cuadrado completado es negativo, el manejador rechaza con un mensaje claro de que las raíces son complejas — ese fallo tampoco se factura. Ejemplo: a igual a uno, b igual a menos seis, c igual a cinco produce las raíces uno y cinco.
Combine la respuesta con su propio código de graficado si necesita un bosquejo de la parábola; este extremo resuelve solo para x real.
Dónde aporta valor una calculadora de resolver completando el cuadrado
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad enseñan a completar el cuadrado antes o junto a la fórmula cuadrática, y califican el método, no solo las cifras finales. Un oráculo fiable que devuelve la forma mónica, el cuadrado añadido, la identidad del cuadrado completado y las raíces reales ordenadas acelera la corrección de deberes, las demostraciones de tutoría y la generación de claves de respuesta sin saltarse los pasos que exige la rúbrica.
Los generadores de exámenes necesitan una herramienta determinista que rechace pares complejos y un coeficiente principal nulo, para que los autoevaluadores marquen esos ítems como sin solución real o no cuadráticos en lugar de emitir listas vacías en silencio. Los autores de currículo que construyen lecciones interactivas quieren la misma forma para coeficientes principales mónicos y no mónicos, una raíz repetida cuando el segundo miembro es cero, y un error honesto cuando se introduce x al cuadrado más uno.
Los cuadernos de programación y las pantallas de entrevista a menudo ocultan una reescritura por completar el cuadrado dentro de un problema de vértice u optimización, y los ingenieros necesitan las raíces reales de esa reescritura en lugar de un volcado de fórmula que esconde la traslación. Si más adelante necesita una reescritura en forma de vértice sin resolver, raíces complejas sin restricción o factorización entera, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar este resolvedor por completar el cuadrado.
Qué puede hacer con ella
Ejercicios de aula para completar el cuadrado
Muestre la ecuación mónica, el cuadrado añadido (b/(2a))² y (x + b/(2a))² = rhs para que el alumnado verifique cada paso algebraico, no solo el par final de raíces.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si las raíces son complejas?
Tras completar el cuadrado el segundo miembro sería negativo, así que no hay raíces reales y la llamada no se cobra.
¿En qué se diferencia de la fórmula cuadrática o de una reescritura en forma de vértice?
Esta página resuelve raíces reales completando el cuadrado y muestra la identidad del cuadrado completado. Una calculadora de forma de vértice reescribe a(x−h)²+k sin resolver; la fórmula cuadrática es otro método y puede devolver pares complejos.
¿Cómo se resuelve x² − 6x + 5 = 0 completando el cuadrado?
Pase el 5 a la derecha y sume 9, el cuadrado de la mitad de −6, a ambos lados. Queda (x − 3)² = 4, así que x − 3 vale más o menos 2 y las raíces son 1 y 5.
¿Qué hago si el coeficiente de x² no es 1?
Divida primero todos los términos entre ese coeficiente para que la ecuación empiece por x² solo. Con 2x² − 8x + 6 = 0 obtiene x² − 4x + 3 = 0, que se completa como (x − 2)² = 1, con raíces 1 y 3.
¿Qué pasa cuando las dos raíces son iguales?
Si el lado derecho vale exactamente cero después de completar el cuadrado, queda una sola raíz real repetida. Esa raíz está en el vértice de la parábola, justo donde la curva toca el eje x.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.solving_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo completar el cuadrado produce las raíces reales
Cuando es negativo, la raíz cuadrada no es real y esta calculadora informa invalid_input en lugar de inventar un par conjugado complejo.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Envíe un cuerpo JSON con tres números finitos obligatorios: a, el coeficiente principal no nulo; b, el coeficiente lineal; y c, el término constante de a x al cuadrado más b x más c igual a cero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena decimal numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías, los booleanos, los objetos y los valores no finitos fallan con invalid_input nombrando el campo y no se cobran. En caso de éxito el cuerpo repite a, b y c; cadenas imprimibles equation y monic_equation; method completing_the_square; los coeficientes lineal y constante mónicos tras dividir entre a; half_linear igual a b entre dos a; complete_add, el cuadrado que se añadió; rhs, el segundo miembro no negativo; una identidad completed_square como paréntesis x menos tres paréntesis al cuadrado igual a cuatro; el discriminante; root_count; roots ordenadas de forma ascendente y redondeadas a doce decimales para goldens estables; y una fórmula breve que reafirma el método. Las llamadas API exitosas usan la base publicada de $0.002 por elemento.
Dónde aporta valor una calculadora de resolver completando el cuadrado
Como esta capacidad es un motor de parse puro, la herramienta del navegador es gratuita y el precio de la API es la base publicada de $0.002 por elemento exitoso; la validación fallida no consume saldo prepago.
Casos de integración
Claves de respuesta de deberes y exámenes
Contraste conjuntos de libro ax²+bx+c=0 con la identidad del cuadrado completado y las raíces reales ordenadas, o detecte ítems que no son cuadráticos o no tienen solución real.
Autoevaluación LMS del método y el dominio
Acepte respuestas por completar el cuadrado solo cuando existan raíces reales; rechace a = 0 y los casos complejos como invalid_input en lugar de inventar un par conjugado.
Preguntas técnicas
¿Cómo resuelvo una cuadrática completando el cuadrado con esta calculadora?
Envíe números finitos a (no nulo), b y c para ax²+bx+c=0. La API divide entre a, suma (b/(2a))² y devuelve las raíces reales de x = −b/(2a) ± √(rhs) cuando rhs es no negativo.
¿Por qué a debe ser distinto de cero?
Si a es cero, ax²+bx+c=0 no es una cuadrática. Completar el cuadrado es la herramienta equivocada; el resolvedor rechaza a = 0 para no fingir que una ecuación lineal es cuadrática.
¿Cuánto cuesta la calculadora de resolver completando el cuadrado?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se cobra.