Lösen durch quadratische Ergänzung

Eine quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung zu lösen ist die Unterrichtsmethode, die a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null als verschobenes vollständiges Quadrat gleich einer Konstanten umschreibt und anschließend reelle Quadratwurzeln zieht. Dieser Rechner nimmt die drei endlichen Koeffizienten a, b und c entgegen, lehnt einen verschwindenden Leitkoeffizienten ab, weil die Aussage dann nicht mehr quadratisch wäre, und lehnt eine negative rechte Seite nach der Ergänzung ab, weil jene Wurzeln komplex statt reell wären. Ist das ergänzte Quadrat nichtnegativ, liefert das Werkzeug die geordneten reellen Wurzeln zusammen mit dem monischen Linearterm, dem addierten Quadrat, der Identität des ergänzten Quadrats und einer kurzen Formel, die Sie neben die Antwort drucken können. Klassische Prüfungen sind x im Quadrat minus sechs x plus fünf, das zum Quadrat von x minus drei gleich vier mit Wurzeln eins und fünf wird; zwei x im Quadrat minus acht x plus sechs, das zum Quadrat von x minus zwei gleich eins mit Wurzeln eins und drei wird; und x im Quadrat plus eins, das als komplexes Paar scheitert.

Wie die quadratische Ergänzung die reellen Wurzeln liefert

Quadratische Ergänzung löst a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null, indem sie die linke Seite in ein verschobenes Quadrat zwingt, statt die quadratische Formel aus dem Gedächtnis aufzusagen. Zuerst muss der Leitkoeffizient ungleich null sein; ist a null, ist die Aussage linear und diese Methode greift nicht. Teilen Sie jeden Term durch a, damit die Gleichung monisch wird: x im Quadrat plus b durch a mal x plus c durch a gleich null.

Bringen Sie die Konstante auf die rechte Seite, sodass links x im Quadrat plus b durch a mal x bleibt. Die Hälfte jenes monischen Linearterms ist b durch zwei a; addieren Sie das Quadrat dieser Hälfte auf beiden Seiten. Die linke Seite ist dann das vollständige Quadrat von x plus b durch zwei a, und die rechte vereinfacht sich algebraisch zu b im Quadrat minus vier a c, alles durch vier a im Quadrat.

Diese rechte Seite muss nichtnegativ sein, damit reelle Wurzeln existieren. Ist sie strikt positiv, erscheinen zwei reelle Wurzeln als minus b durch zwei a plus oder minus die Quadratwurzel der rechten Seite. Ist sie genau null, fällt das Quadrat auf eine doppelte reelle Wurzel im Scheitel der Parabel zusammen.

Die verwendeten Identitäten sind rein algebraisch, sodass dieselben drei Zahlen stets dieselbe Zeichenkette des ergänzten Quadrats und dieselben geordneten Wurzeln erzeugen, ohne Zufallsseeds, Uhren oder Netzwerkanrufe auf dem Pfad.

Wo ein Rechner zum Lösen durch quadratische Ergänzung seinen Nutzen zeigt

Algebra-Kurse an Schule und Hochschule unterrichten quadratische Ergänzung vor oder neben der quadratischen Formel und bewerten die Methode, nicht nur die Endzahlen. Ein vertrauenswürdiges Orakel, das die monische Form, das addierte Quadrat, die Identität des ergänzten Quadrats und die geordneten reellen Wurzeln liefert, beschleunigt Hausaufgabenkontrolle, Nachhilfe-Demos und die Erzeugung von Lösungsschlüsseln, ohne die von der Rubrik geforderten Schritte zu überspringen. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Werkzeug, das komplexe Paare und einen verschwindenden Leitkoeffizienten ablehnt, damit Auto-Bewerter solche Items als ohne reelle Lösung oder nicht quadratisch markieren statt still leere Listen auszugeben.

Curriculum-Autoren, die interaktive Lektionen bauen, wollen dieselbe Form für monische und nicht-monische Leitkoeffizienten, eine doppelte Wurzel wenn die rechte Seite null ist, und einen ehrlichen Fehler wenn x im Quadrat plus eins eingegeben wird. Programmierhefte und Interview-Screens verstecken oft eine Umschreibung durch quadratische Ergänzung in einem Scheitel- oder Optimierungsproblem, und Ingenieure brauchen die reellen Wurzeln jener Umschreibung statt eines Formel-Dumps, der die Verschiebung verbirgt.

Wenn Sie später eine Scheitelpunktform ohne Lösen, uneingeschränkte komplexe Wurzeln oder ganzzahlige Faktorisierung brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Landingpages statt diesen Ergänzungs-Löser zu überladen.