平方完成で二次方程式を解く
授業と同じ平方完成で二次方程式を解きます。x² − 6x + 5 = 0 は (x − 3)² = 4 になり、解は1と5です。両辺に足した数と完成した平方の式も表示します。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- 方程式
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- モニック方程式
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- モニックの1次の項
- -6
- モニックの定数項
- 5
平方完成による二次方程式の解法は、a かける x の二乗 たす b かける x たす c が 零、を平行移動した完全平方が定数に等しい形へ書き直し、そのあと実の平方根をとる教室の方法です。この計算機は有限の三係数 a ・ b ・ c を受け取り、先頭係数が 零 ならもはや二次ではないため拒否し、平方を完成したあとの右辺が負なら根が実ではなく複素になるため拒否します。完成した平方が非負のとき、ツールは順序付きの実根に加え、モニックな一次項、加えた平方、平方完成の恒等式、答えの横に印刷できる短い公式を返します。古典的な確認例には、x の二乗 ひく 六 x たす 五 が x ひく 三 の平方が 四 となり根が 一 と 五 になる例、二 x の二乗 ひく 八 x たす 六 が x ひく 二 の平方が 一 となり根が 一 と 三 になる例、および複素対として失敗する x の二乗 たす 一 があります。
平方完成が実根を与える仕組み
平方完成は、解の公式を暗唱するのではなく、左辺を平行移動した平方へ強制することで a かける x の二乗 たす b かける x たす c が零 を解きます。まず先頭係数は非零でなければならず、a が零なら文は一次でありこの方法は使えません。各項を a で割り、方程式をモニックにします。
すなわち x の二乗 たす b わる a かける x たす c わる a が零。定数項を右辺へ移し、左辺に x の二乗 たす b わる a かける x を残します。そのモニック一次係数の半分は b わる 二 a です。
その半分の平方を両辺に加えます。すると左辺は x たす b わる 二 a の完全平方になり、右辺は代数的に b の二乗 ひく 四 a c を 四 a の二乗 で割ったものへ簡約されます。実根があるにはその右辺が非負でなければなりません。
厳密に正なら、マイナス b わる 二 a に右辺の平方根を加減した二つの実根が現れます。ちょうど零なら、平方は放物線の頂点における重根へ潰れます。用いる恒等式は純代数なので、同じ三数は常に同じ平方完成文字列と同じ順序付き根を生み、経路上に乱数シード・時計・ネットワーク呼び出しはありません。
入力契約・応答の形・エラーの扱い
a は非零の先頭係数、b は一次係数、c は a x の二乗 たす b x たす c が零 の定数項です。a が零のとき、平方完成は真の二次向けの方法であり一次や定数の文には使えないため、ハンドラは要求を拒否します。平方完成後の右辺が負のとき、ハンドラは根が複素である旨の明確なメッセージで拒否し、その失敗も課金されません。
例: a が 一、b が マイナス六、c が 五 なら根は 一 と 五 です。放物線の略図が必要ならご自身の作図コードと組み合わせてください。この端点は実の x だけを解きます。
平方完成で解く計算機が役立つ場面
中等 ・ 大学 の 代数 では、解の公式の前または並行して 平方完成 を教え、最終の数字だけでなく方法を採点します。モニック形 ・ 加えた平方 ・ 平方完成の恒等式 ・ 順序付き実根 を返す信頼できるオラクルは、ルーブリックが求める手順を飛ばさず、宿題確認 ・ 個別指導デモ ・ 模範解答の作成を速めます。
試験生成には、複素対と 零 の先頭係数を拒む決定論的ツールが必要で、自動採点はその項目を実解なしまたは二次でないとマークでき、空リストを黙って出すことがありません。対話型教材の著者は、モニックおよび非モニック先頭係数、右辺が 零 のときの重根、x の二乗 たす 一 を入れたときの正直なエラーについて同じ形を求めます。
プログラミングノートや面接画面では、頂点や最適化の問題の中に平方完成の書き換えが隠れることが多く、技術者はその書き換えから得た実根を必要とし、平行移動を隠す公式のダンプでは足りません。検証失敗は前払い残高を消費しません。
のちに解かずに頂点形式へ書き換える機能、制限のない複素根、整数因数分解が必要なら、この平方完成ソルバーに詰め込むのではなく別の検索意図とランディングとして扱ってください。
活用例
教室の平方完成ドリル
モニック方程式、加えた平方 (b/(2a))²、および (x + b/(2a))² = rhs を示し、学習者が最終の根の組だけでなく各代数ステップを確かめられるようにします。
よくある質問
根が複素のときはどうなりますか？
平方完成後の右辺は負になるため実根はなく、呼び出しは課金されません。
解の公式や頂点形式への書き換えと何が違いますか？
本ページは平方完成で実根を求め、平方完成の恒等式を示します。頂点形式の計算機は解かずに a(x−h)²+k へ書き換えるだけです。解の公式は別の方法であり、複素対を返すことがあります。
x² − 6x + 5 = 0 を平方完成で解くには？
5を右辺に移し、−6の半分の2乗である9を両辺に足します。すると (x − 3)² = 4 となり、x − 3 はプラスマイナス2なので、解は1と5です。
x² の係数が1でないときはどうしますか？
まずすべての項をその係数で割り、x² だけで始まる形にします。2x² − 8x + 6 = 0 なら x² − 4x + 3 = 0 となり、(x − 2)² = 1 と完成して解は1と3です。
2つの解が同じになるのはどんなときですか？
平方完成したあとの右辺がちょうどゼロのとき、実数の重解が1つだけ残ります。その解は放物線の頂点にあり、曲線が x 軸に接する点です。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.solving_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
ブラウザでも API でも同じ三係数なら同じ実根が返ります。
平方完成が実根を与える仕組み
負なら平方根は実ではなく、この計算機は複素共役対を捏造せず invalid_input を報告します。
入力契約・応答の形・エラーの扱い
必須の有限数三つを持つ JSON 本体を送信してください。各フィールドは JSON 数または数値の十進文字列でよく、欠落・空文字列・真偽値・オブジェクト・非有限値はフィールド名付きの invalid_input で失敗し課金されません。成功した API 呼び出しは公開ベースの $0.002 毎件です。
平方完成で解く計算機が役立つ場面
本能力は純粋な parse エンジンのため、ブラウザツールは無料で、API 料金は成功一件あたり公開ベースの $0.002 です。
連携の活用例
宿題と試験の模範解答
教科書の ax²+bx+c=0 集合を平方完成の恒等式と順序付き実根と照合し、二次でない項目や実解のない項目を見つけます。
方法と定義域の LMS 自動採点
実根があるときだけ平方完成の解答を受け入れ、a = 0 と複素の場合は共役対を捏造せず invalid_input として拒否します。
技術的な質問
この計算機で二次方程式を平方完成で解くにはどうすればよいですか。
ax²+bx+c=0 に対する有限数 a（非零）・b・c を送ってください。API は a で割り (b/(2a))² を加え、rhs が非負のとき x = −b/(2a) ± √(rhs) から実根を返します。
なぜ a は非零でなければなりませんか。
a が零なら ax²+bx+c=0 は二次ではありません。平方完成は誤った道具であり、一次方程式を二次であるかのように見せないようソルバーは a = 0 を拒否します。
平方完成で解く計算機の料金はいくらですか。
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 を使い、無効な入力は課金されません。