Résoudre en complétant le carré
Résolvez une équation du second degré comme en classe : x² − 6x + 5 = 0 devient (x − 3)² = 4, d'où les racines 1 et 5. Vous voyez aussi la quantité ajoutée des deux côtés et le carré complété. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- Équation
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Équation unitaire
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Terme linéaire unitaire
- -6
- Constante unitaire
- 5
Résoudre une équation quadratique en complétant le carré est la méthode de cours qui réécrit a fois x au carré plus b fois x plus c égal à zéro comme un carré parfait translaté égal à une constante, puis extrait des racines carrées réelles. Cette calculatrice accepte les trois coefficients finis a, b et c, refuse un coefficient dominant nul parce que l'énoncé ne serait plus quadratique, et refuse un second membre négatif une fois le carré complété parce que ces racines seraient complexes plutôt que réelles. Lorsque le carré complété est non négatif, l'outil renvoie les racines réelles ordonnées avec le terme linéaire unitaire, le carré ajouté, l'identité du carré complété et une courte formule que vous pouvez imprimer à côté de la réponse. Les contrôles classiques comprennent x au carré moins six x plus cinq, qui devient le carré de x moins trois égal à quatre avec racines un et cinq ; deux x au carré moins huit x plus six, qui devient le carré de x moins deux égal à un avec racines un et trois ; et x au carré plus un, qui échoue comme paire complexe.
Comment la complétion du carré produit les racines réelles
Compléter le carré résout a fois x au carré plus b fois x plus c égal à zéro en forçant le premier membre à devenir un carré translaté, plutôt qu'en récitant de mémoire la formule quadratique. D'abord le coefficient dominant doit être non nul ; si a est zéro l'énoncé est linéaire et cette méthode ne s'applique pas. Divisez chaque terme par a pour que l'équation devienne unitaire : x au carré plus b sur a fois x plus c sur a égal à zéro.
Passez la constante au second membre, en laissant x au carré plus b sur a fois x à gauche. La moitié de ce coefficient linéaire unitaire est b sur deux a ; ajoutez le carré de cette moitié aux deux membres. Le premier membre est alors le carré parfait de x plus b sur deux a, et le second se simplifie algébriquement en b au carré moins quatre a c, le tout sur quatre a au carré.
Ce second membre doit être non négatif pour qu'il y ait des racines réelles. Lorsqu'il est strictement positif, deux racines réelles apparaissent : moins b sur deux a plus ou moins la racine carrée du second membre. Lorsqu'il est exactement zéro, le carré s'effondre en une racine réelle double au sommet de la parabole.
Les identités utilisées sont purement algébriques, de sorte que les trois mêmes nombres produisent toujours la même chaîne de carré complété et les mêmes racines ordonnées, sans graines aléatoires, horloges ni appels réseau sur le chemin.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Lorsque a est zéro le gestionnaire rejette la requête car compléter le carré est une méthode pour de vraies quadratiques, pas pour des énoncés linéaires ou constants. Lorsque le second membre du carré complété est négatif, le gestionnaire rejette avec un message clair indiquant que les racines sont complexes — cet échec n'est pas facturé non plus. Exemple : a égal à un, b égal à moins six, c égal à cinq donne les racines un et cinq.
Associez la réponse à votre propre code de tracé si vous avez besoin d'un croquis de la parabole ; ce point d'accès ne résout que pour x réel.
Où une calculatrice de résolution par complétion du carré apporte de la valeur
Les cours d'algèbre du secondaire et du supérieur enseignent la complétion du carré avant ou à côté de la formule quadratique, et notent la méthode, pas seulement les chiffres finaux. Un oracle fiable qui renvoie la forme unitaire, le carré ajouté, l'identité du carré complété et les racines réelles ordonnées accélère la correction des devoirs, les démos de tutorat et la génération de corrigés sans sauter les étapes exigées par le barème.
Les générateurs d'examens ont besoin d'un outil déterministe qui refuse les paires complexes et un coefficient dominant nul, afin que les correcteurs automatiques marquent ces items comme sans solution réelle ou non quadratiques plutôt que d'émettre des listes vides en silence. Les auteurs de programmes qui construisent des leçons interactives veulent la même forme pour coefficients dominants unitaires et non unitaires, une racine double lorsque le second membre est zéro, et une erreur honnête lorsqu'on saisit x au carré plus un.
Les carnets de programmation et les écrans d'entretien cachent souvent une réécriture par complétion du carré dans un problème de sommet ou d'optimisation, et les ingénieurs ont besoin des racines réelles de cette réécriture plutôt que d'un dump de formule qui masque la translation. Si vous avez ensuite besoin d'une réécriture en forme canonique sans résoudre, de racines complexes sans restriction ou d'une factorisation entière, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages d'atterrissage distinctes plutôt que de surcharger ce solveur par complétion du carré.
Cas d’usage
Exercices de cours pour compléter le carré
Montrez l'équation unitaire, le carré ajouté (b/(2a))² et (x + b/(2a))² = rhs afin que les élèves vérifient chaque étape algébrique, pas seulement la paire finale de racines.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si les racines sont complexes ?
Après complétion du carré le second membre serait négatif, donc il n'y a pas de racines réelles et l'appel n'est pas facturé.
En quoi cela diffère-t-il de la formule quadratique ou d'une réécriture en forme de sommet ?
Cette page résout des racines réelles en complétant le carré et montre l'identité du carré complété. Une calculatrice de forme de sommet réécrit a(x−h)²+k sans résoudre ; la formule quadratique est une autre méthode et peut renvoyer des paires complexes.
Comment résoudre x² − 6x + 5 = 0 en complétant le carré ?
Passez le 5 à droite, puis ajoutez 9, le carré de la moitié de −6, des deux côtés. Vous obtenez (x − 3)² = 4, donc x − 3 vaut plus ou moins 2 et les racines sont 1 et 5.
Que faire si le coefficient de x² n'est pas 1 ?
Divisez d'abord tous les termes par ce coefficient pour que l'équation commence par x² seul. Avec 2x² − 8x + 6 = 0, vous obtenez x² − 4x + 3 = 0, qui se complète en (x − 2)² = 1, avec les racines 1 et 3.
Que se passe-t-il quand les deux racines sont égales ?
Si le membre de droite vaut exactement zéro une fois le carré complété, il reste une seule racine réelle double. Elle se trouve au sommet de la parabole, à l'endroit où la courbe touche l'axe des x.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.solving_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment la complétion du carré produit les racines réelles
Lorsqu'il est négatif, la racine carrée n'est pas réelle et cette calculatrice signale invalid_input au lieu d'inventer une paire conjuguée complexe.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Envoyez un corps JSON avec trois nombres finis obligatoires : a, le coefficient dominant non nul ; b, le coefficient linéaire ; et c, le terme constant de a x au carré plus b x plus c égal à zéro. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne décimale numérique ; les champs manquants, chaînes vides, booléens, objets et valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant le champ et ne sont pas facturés. En cas de succès le corps renvoie a, b et c ; des chaînes imprimables equation et monic_equation ; method completing_the_square ; les coefficients linéaire et constant unitaires après division par a ; half_linear égal à b sur deux a ; complete_add, le carré qui a été ajouté ; rhs, le second membre non négatif ; une identité completed_square telle que parenthèse x moins trois parenthèse au carré égal à quatre ; le discriminant ; root_count ; roots triées par ordre croissant et arrondies à douze décimales pour des goldens stables ; et une courte formule qui reformule la méthode. Les appels API réussis utilisent la base publiée de $0.002 par élément.
Où une calculatrice de résolution par complétion du carré apporte de la valeur
Comme cette capacité est un moteur de parse pur, l'outil du navigateur est gratuit et le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi ; l'échec de validation ne consomme pas le solde prépayé.
Cas d'intégration
Corrigés de devoirs et d'examens
Contrôlez des ensembles de manuel ax²+bx+c=0 face à l'identité du carré complété et aux racines réelles ordonnées, ou détectez les items non quadratiques ou sans solution réelle.
Correction automatique LMS de la méthode et du domaine
N'acceptez les réponses par complétion du carré que lorsqu'il existe des racines réelles ; refusez a = 0 et les cas complexes comme invalid_input au lieu d'inventer une paire conjuguée.
Questions techniques
Comment résoudre une quadratique en complétant le carré avec cette calculatrice ?
Envoyez des nombres finis a (non nul), b et c pour ax²+bx+c=0. L'API divise par a, ajoute (b/(2a))² et renvoie les racines réelles de x = −b/(2a) ± √(rhs) lorsque rhs est non négatif.
Pourquoi a doit-il être non nul ?
Si a est zéro, ax²+bx+c=0 n'est pas une quadratique. Compléter le carré est le mauvais outil ; le solveur refuse a = 0 afin de ne jamais faire passer une équation linéaire pour quadratique.
Combien coûte la calculatrice de résolution par complétion du carré ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.