Factoriser un trinôme
Saisissez a, b et c et obtenez le trinôme factorisé en deux binômes : x² − 5x + 6 devient (x − 2)(x − 3). Quand il n’existe aucun facteur rationnel, le résultat le dit clairement. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Polynôme
- x^2 - 5*x + 6
- Discriminant Δ
- 1
- Contenu
- 1
- Forme factorisée
- (x - 2)(x - 3)
Factoriser un polynôme quadratique signifie réécrire a fois x au carré plus b fois x plus c comme produit de deux binômes de degré un lorsque ce produit existe avec des coefficients rationnels. Cette calculatrice prend trois nombres finis a, b et c, rejette un coefficient dominant nul pour que l'entrée reste véritablement quadratique, et renvoie une factorisation explicite du type contenu fois parenthèse p x plus q parenthèse fois parenthèse r x plus s parenthèse, ou signale que le trinôme est irréductible sur les rationnels. L'irréductibilité sur les rationnels est décidée de façon exacte : après suppression des dénominateurs, le discriminant du modèle entier doit être un carré parfait, ce qui équivaut à l'existence de racines rationnelles et de facteurs binomiaux rationnels. Les contrôles classiques de classe comprennent x au carré moins cinq x plus six qui devient parenthèse x moins deux parenthèse parenthèse x moins trois parenthèse, six x au carré plus cinq x plus un qui devient parenthèse deux x plus un parenthèse parenthèse trois x plus un parenthèse, et x au carré plus un qui reste irréductible sur Q bien qu'il se factorise sur les complexes.
Comment fonctionne la factorisation rationnelle de ax² + bx + c
Un polynôme du second degré à coefficients rationnels se factorise de façon non triviale sur les rationnels si et seulement s'il admet une racine rationnelle, ce qui en degré deux équivaut à ce que son discriminant soit le carré d'un nombre rationnel.
En pratique la calculatrice récupère d'abord des fractions exactes pour a, b et c à partir d'entrées finies ordinaires par approximation en fractions continues, afin que les décimales et entiers de manuel restent exacts, puis multiplie par le plus petit commun multiple des dénominateurs pour obtenir un modèle entier A x au carré plus B x plus C.
La factorisation de ce trinôme entier s'effectue en cherchant des paires de diviseurs : le coefficient dominant A se décompose en p fois r et le terme constant C en q fois s de sorte que l'identité croisée p s plus q r égale B. Lorsque de tels entiers existent, le polynôme d'origine est récupéré comme une échelle de contenu rationnelle multipliée par le produit des deux binômes p x plus q et r x plus s.
Lorsqu'aucune paire n'existe, le discriminant du modèle entier n'est pas un carré parfait et la réponse marque le trinôme irréductible sur les rationnels. C'est plus strict que la factorisation sur les réels : x au carré moins deux est irréductible ici même s'il se factorise avec des racines carrées, car ces facteurs ne sont pas rationnels.
Les factorisations complexes telles que x au carré plus un égale parenthèse x moins i parenthèse parenthèse x plus i parenthèse sont également hors périmètre ; les élèves qui ont besoin de racines sous forme re ou im doivent utiliser un solveur de formule quadratique. Les coefficients doivent être finis ; Infinity et NaN sont rejetés.
Où la factorisation quadratique apparaît dans le travail réel
Les cours d'algèbre du secondaire et du supérieur assignent constamment des exercices de factorisation par regroupement, méthode AC et FOIL inverse ; un oracle de confiance qui renvoie des facteurs binomiaux ou un drapeau honnête d'irréductible accélère la notation et les démos sans inventer de facteurs irrationnels ou complexes interdits par le barème.
Les échauffements de concours de programmation et les écrans d'entretien cachent souvent un trinôme factorisable dans des contraintes diophantiennes entières, et les ingénieurs ont besoin de la forme binomiale entière plutôt que de racines flottantes qui s'arrondissent mal. Le prétraitement symbolique dans les calculatrices et les frontaux de CAS utilise la factorisation rationnelle comme un premier passage peu coûteux avant des algorithmes plus lourds de degré supérieur.
Les carnets de physique et de finance doivent parfois réécrire un coût ou une contrainte quadratique en facteurs linéaires avant les fractions partielles ou l'analyse de signes, et refuser a égale zéro évite de qualifier un modèle linéaire de quadratique. Si vous avez ensuite besoin de racines complexes en forme fermée, de factorisations cubiques ou de factorisation sur des corps finis, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages distinctes plutôt que de surcharger cette page de factorisation binomiale rationnelle.
Cas d’usage
Corrigés de devoirs et d'examens
Générez des facteurs binomiaux exacts ou un drapeau irréductible-sur-Q pour des ensembles manuels ax²+bx+c, afin que enseignants et correcteurs automatiques partagent une seule vérité de référence.
Exercices méthode AC et FOIL inverse
Vérifiez les étapes de factorisation en classe par rapport aux factorisations par paires de diviseurs avec contenu entier, y compris facteurs répétés et coefficients dominants non moniques.
Prétraitement avant fractions partielles
Réécrivez des trinômes rationnels en facteurs linéaires sur Q lorsque c'est possible avant tableaux de signes, fractions partielles ou résolutions de contraintes entières.
Questions fréquentes
Quand un trinôme est-il factorisable sur les rationnels ?
Lorsque son discriminant est le carré d'un rationnel (de façon équivalente, lorsqu'il a une racine rationnelle). L'outil renvoie alors deux binômes à coefficients rationnels ou entiers et une échelle de contenu optionnelle.
Que se passe-t-il si a vaut zéro ?
Factoriser un trinôme exige un coefficient quadratique non nul ; un binôme linéaire bx + c est un problème différent.
x² − 2 est-il factorisable ici ?
Non. Il se factorise sur les réels avec √2, mais pas sur les rationnels, donc la réponse met irreducible à vrai. Cela correspond aux programmes d'algèbre standards.
En quoi cela diffère-t-il d'un solveur de formule quadratique ?
Un solveur de formule renvoie des racines (éventuellement complexes). Cette calculatrice renvoie des facteurs binomiaux sur Q ou signale irréductible sur Q. Intention de recherche différente, page différente.
Quel est le coût ?
L'outil du navigateur est gratuit et s'exécute en local.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", {
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"b": -5,
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"method" => "POST",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.factor_quadratic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'outil gratuit du navigateur et l'API payante partagent une seule fonction pure déterministe, de sorte que les démonstrations de devoirs, les corrigés et les pipelines automatisés ne divergent jamais sur les mêmes coefficients.
Comment fonctionne la factorisation rationnelle de ax² + bx + c
Tout le chemin est déterministe, sans graines aléatoires, horloges ni appels réseau, de sorte que des coefficients identiques produisent toujours un JSON identique. Le cas particulier a approximativement zéro est rejeté avec invalid_input car le degré baisserait et le problème ne serait plus quadratique.
Ce que vous envoyez et ce que vous recevez
Envoyez trois nombres finis sous les champs a, b et c représentant les coefficients de a x au carré plus b x plus c. Les trois champs sont obligatoires. Lorsque a vaut zéro ou est extrêmement proche de zéro, la requête échoue avec un message clair indiquant que factoriser un trinôme exige un terme quadratique non nul, afin que le client puisse basculer vers un outil linéaire plutôt que de deviner. Contrôles classiques : a égale un, b égale moins cinq, c égale six donne parenthèse x moins deux parenthèse parenthèse x moins trois parenthèse ; a égale six, b égale cinq, c égale un donne parenthèse deux x plus un parenthèse parenthèse trois x plus un parenthèse ; a égale un, b égale zéro, c égale un est irréductible sur les rationnels ; a égale deux, b égale quatre, c égale deux donne deux fois parenthèse x plus un parenthèse au carré sous forme produit. Champs manquants, chaînes non numériques, NaN et Infinity échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés. En cas de succès la réponse renvoie les coefficients nettoyés, une chaîne polynomiale imprimable, le discriminant, les drapeaux booléens factorable et irreducible, et lorsque la factorisation existe une échelle de contenu, un tableau factors de deux objets chacun avec coeff_x, const et une chaîne binomiale, plus une chaîne compacte factored_form adaptée à l'affichage. Un objet cleared_integer montre les coefficients entiers A, B, C et l'échelle de dénominateur utilisée pour l'arithmétique exacte, utile pour déboguer des entrées fractionnaires. Le prix des appels API réussis est la base publiée de $0.002 par élément ; les échecs de validation ne consomment pas le solde prépayé.
Où la factorisation quadratique apparaît dans le travail réel
Comme cette capacité est un moteur de parse pur, le prix de l'API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et l'échec de validation ne consomme pas le solde.