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Fatorar quadrática

Digite a, b e c e obtenha o polinômio do segundo grau fatorado em dois binômios: x² − 5x + 6 vira (x − 2)(x − 3). Quando não existem fatores racionais, o resultado avisa com clareza. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 1
B: -5
C: 6

Você obtém

Polinômio: x^2 - 5*x + 6
Discriminante: 1
Conteúdo: 1
Forma fatorada: (x - 2)(x - 3)

Fatorar um polinômio quadrático significa reescrever a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c como produto de dois binômios de grau um sempre que esse produto exista com coeficientes racionais. Esta calculadora recebe três números finitos a, b e c, rejeita coeficiente líder zero para que a entrada continue genuinamente quadrática, e devolve uma fatoração explícita do tipo conteúdo vezes parêntese p x mais q parêntese vezes parêntese r x mais s parêntese, ou informa que a quadrática é irredutível sobre os racionais. A irredutibilidade sobre os racionais é decidida de forma exata: após limpar denominadores, o discriminante do modelo inteiro deve ser um quadrado perfeito, o que equivale à existência de raízes racionais e de fatores binômicos racionais. Verificações clássicas de sala incluem x ao quadrado menos cinco x mais seis tornando-se parêntese x menos dois parêntese parêntese x menos três parêntese, seis x ao quadrado mais cinco x mais um tornando-se parêntese dois x mais um parêntese parêntese três x mais um parêntese, e x ao quadrado mais um permanecendo irredutível sobre Q embora se fatore sobre os complexos.

Como funciona a fatoração racional de ax² + bx + c

Um polinômio de segundo grau com coeficientes racionais se fatore de forma não trivial sobre os racionais se e somente se tiver uma raiz racional, o que em grau dois equivale a seu discriminante ser o quadrado de um número racional.

Na prática a calculadora primeiro recupera frações exatas para a, b e c a partir de entradas finitas ordinárias usando aproximação por frações contínuas, de modo que decimais e inteiros de livro didático permaneçam exatos, e depois multiplica pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores para obter um modelo inteiro A x ao quadrado mais B x mais C.

A fatoração dessa quadrática inteira é feita buscando pares de divisores: o coeficiente líder A se decompõe como p vezes r e o termo constante C como q vezes s de forma que a identidade cruzada p s mais q r iguale B. Quando tais inteiros existem, o polinômio original é recuperado como uma escala de conteúdo racional vezes o produto dos dois binômios p x mais q e r x mais s.

Quando nenhum par existe, o discriminante do modelo inteiro não é um quadrado perfeito e a resposta marca a quadrática como irredutível sobre os racionais. Isso é mais rigoroso do que fatorar sobre os reais: x ao quadrado menos dois é irredutível aqui embora se fatore com raízes quadradas, porque esses fatores não são racionais.

Fatorações complexas como x ao quadrado mais um igual a parêntese x menos i parêntese parêntese x mais i parêntese também ficam fora do escopo; quem precisa de raízes em forma re ou im deve usar um resolvedor de fórmula quadrática. Os coeficientes devem ser finitos; Infinity e NaN são rejeitados.

Onde a fatoração quadrática aparece no trabalho real

Cursos de álgebra do ensino médio e superior atribuem constantemente exercícios de fatoração por agrupamento, método AC e FOIL reverso; um oráculo confiável que devolve fatores binômicos ou uma flag honesta de irredutível acelera a correção e as demos sem inventar fatores irracionais ou complexos que a rubrica não permite. Aquecimentos de competições de programação e telas de entrevista frequentemente escondem uma quadrática fatorável dentro de restrições diofantinas inteiras, e engenheiros precisam da forma binômica inteira em vez de raízes flutuantes que arredondam mal.

O pré-processamento simbólico em calculadoras e front-ends de CAS usa a fatoração racional como um primeiro passo barato antes de algoritmos mais pesados de grau maior. Cadernos de física e finanças às vezes precisam reescrever um custo ou restrição quadrática em fatores lineares antes de frações parciais ou análise de sinais, e recusar a igual a zero evita rotular um modelo linear como quadrático.

Se mais tarde você precisar de raízes complexas em forma fechada, fatorações cúbicas ou fatoração sobre corpos finitos, trate-os como intenções de busca e páginas separadas em vez de sobrecarregar esta página de fatoração binômica racional.

Casos de uso

Gabaritos de lição de casa e provas

Gere fatores binômicos exatos ou uma flag irredutível-sobre-Q para conjuntos didáticos ax²+bx+c, para que professores e autoavaliadores compartilhem uma única verdade de referência.

Exercícios de método AC e FOIL reverso

Confira os passos de fatoração da sala com fatorações por pares de divisores com conteúdo inteiro, incluindo fatores repetidos e coeficientes líderes não mônicos.

Pré-processamento antes de frações parciais

Reescreva quadráticas racionais em fatores lineares sobre Q quando possível antes de tabelas de sinais, frações parciais ou resoluções de restrições inteiras.

Perguntas frequentes

Quando uma quadrática é fatorável sobre os racionais?

Quando seu discriminante é o quadrado de um racional (equivalentemente, quando tem uma raiz racional). A ferramenta então devolve dois binômios com coeficientes racionais ou inteiros e uma escala de conteúdo opcional.

O que acontece se a for zero?

Fatorar uma quadrática exige coeficiente quadrático não nulo; um binômio linear bx + c é um problema diferente.

x² − 2 é fatorável aqui?

Não. Se fatore sobre os reais com √2, mas não sobre os racionais, então a resposta define irreducible como verdadeiro. Isso coincide com o currículo padrão de álgebra.

Em que isso difere de um resolvedor de fórmula quadrática?

Um resolvedor de fórmula devolve raízes (possivelmente complexas). Esta calculadora devolve fatores binômicos sobre Q ou informa irredutível sobre Q. Intenção de busca diferente, página diferente.

Quanto custa?

A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 6
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 1,
  "b": -5,
  "c": 6
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.factor_quadratic",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura determinística, de modo que demos de lição de casa, gabaritos e pipelines automatizados nunca divergem com os mesmos coeficientes.

Como funciona a fatoração racional de ax² + bx + c

Todo o caminho é determinístico, sem sementes aleatórias, relógios ou chamadas de rede, de modo que coeficientes idênticos sempre produzem JSON idêntico. O caso especial a aproximadamente zero é rejeitado com invalid_input porque o grau cairia e o problema deixaria de ser quadrático.

O que você envia e o que recebe de volta

Envie três números finitos nos campos a, b e c representando os coeficientes de a x ao quadrado mais b x mais c. Os três campos são obrigatórios. Quando a é zero ou extremamente próximo de zero a requisição falha com uma mensagem clara de que fatorar uma quadrática exige termo quadrático não nulo, para que o cliente possa mudar para uma ferramenta linear em vez de adivinhar. Verificações clássicas: a igual a um, b igual a menos cinco, c igual a seis produz parêntese x menos dois parêntese parêntese x menos três parêntese; a igual a seis, b igual a cinco, c igual a um produz parêntese dois x mais um parêntese parêntese três x mais um parêntese; a igual a um, b igual a zero, c igual a um é irredutível sobre os racionais; a igual a dois, b igual a quatro, c igual a dois produz dois vezes parêntese x mais um parêntese ao quadrado em forma de produto. Campos ausentes, cadeias não numéricas, NaN e Infinity falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta ecoa os coeficientes limpos, uma string polinomial imprimível, o discriminante, flags booleanas factorable e irreducible, e quando a fatoração existe uma escala de conteúdo, um array factors de dois objetos cada um com coeff_x, const e uma string binômica, mais uma string compacta factored_form adequada para exibição. Um objeto cleared_integer mostra os coeficientes inteiros A, B, C e a escala de denominador usada na aritmética exata, útil ao depurar entradas fracionárias. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.

Onde a fatoração quadrática aparece no trabalho real

Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.

Ver a documentação completa do KIT →

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Como funciona a fatoração racional de ax² + bx + c

Onde a fatoração quadrática aparece no trabalho real

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Exemplo de requisição

Exemplo de resposta

Preço

Erros

Notas técnicas

Como funciona a fatoração racional de ax² + bx + c

O que você envia e o que recebe de volta

Onde a fatoração quadrática aparece no trabalho real

obrigado