Resolver quadrática por fatoração
Fatore uma equação do segundo grau como no livro: x² − 5x + 6 vira (x − 2)(x − 3), então as raízes são 2 e 3. Quando não há fatoração com inteiros, você é avisado com clareza. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Equação
- x^2 - 5*x + 6 = 0
- Polinômio
- x^2 - 5*x + 6
- Discriminante
- 1
- Conteúdo
- 1
Resolver uma quadrática por fatoração significa reescrever a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c como produto de dois binômios de grau um com coeficientes inteiros, igualar esse produto a zero e aplicar a propriedade do produto nulo para que cada binômio contribua com uma raiz. Esta calculadora aceita três coeficientes inteiros a, b e c da equação a x ao quadrado mais b x mais c igual a zero, rejeita um coeficiente principal nulo para que o problema continue genuinamente quadrático, e devolve uma forma fatorada explícita como parênteses x menos dois parênteses parênteses x menos três parênteses junto com as raízes ordenadas, ou informa com honestidade que o trinômio não se fatora sobre os inteiros. Verificações clássicas de sala incluem x ao quadrado menos cinco x mais seis que vira parênteses x menos dois parênteses parênteses x menos três parênteses com raízes dois e três, seis x ao quadrado mais cinco x mais um que vira parênteses dois x mais um parênteses parênteses três x mais um parênteses com raízes menos um meio e menos um terço, e x ao quadrado mais um que permanece não fatorável sobre os inteiros mesmo com raízes complexas.
Como funcionam a resolução por fatoração e o produto nulo
Uma equação quadrática a x ao quadrado mais b x mais c igual a zero pode ser resolvida por fatoração quando o primeiro membro se decompõe em um conteúdo constante vezes dois binômios lineares com coeficientes inteiros. Algebricamente é a mesma condição de o discriminante ser um quadrado perfeito para a, b e c inteiros, o que garante raízes racionais que, após limpar denominadores, produzem fatores binômicos inteiros pelo FOIL inverso ou pelo método AC.
A calculadora primeiro verifica que a, b e c são inteiros finitos dentro do intervalo de inteiros seguros e que a não é zero.
Em seguida extrai um fator de conteúdo igual ao máximo divisor comum dos três coeficientes, preservando o sinal para que o fator principal prefira um primeiro coeficiente binômico positivo quando possível, e busca pares de divisores: o coeficiente principal reduzido se divide como p vezes r e a constante reduzida como q vezes s de modo que a identidade cruzada p s mais q r iguale o coeficiente linear reduzido.
Quando tais inteiros existem, a equação vira conteúdo vezes parênteses p x mais q parênteses vezes parênteses r x mais s parênteses igual a zero. Como o conteúdo é não nulo, a propriedade do produto nulo diz que ou p x mais q é zero ou r x mais s é zero, o que dá as raízes x igual a menos q sobre p e x igual a menos s sobre r.
Quando nenhum par de divisores funciona, a resposta marca factorable como falso e explica que a fatoração inteira falhou, orientando o usuário à fórmula quadrática ou ao completar o quadrado em vez de inventar fatores irracionais ou complexos que o método de fatoração não produz. Casos especiais são tratados com clareza: se c é zero então x é um fator explícito; se as duas raízes coincidem a lista de soluções contém um único valor por raiz repetida.
Onde uma calculadora de resolver por fatoração agrega valor
Cursos de álgebra do ensino médio e da faculdade atribuem exercícios de resolver por fatoração, FOIL inverso e método AC antes de introduzir a fórmula quadrática; um oráculo confiável que devolve o produto binômico e as raízes pelo produto nulo acelera a correção e as demos sem pular o método que a rubrica exige.
Geradores de prova precisam de uma ferramenta determinística que distinga trinômios inteiros fatoráveis dos casos em que o aluno deve trocar de método, para que autoavaliadores aceitem respostas por fatoração só quando factorable é verdadeiro e marquem o resto como trabalho de fórmula. Aquecimentos de competições de programação e telas de entrevista frequentemente escondem uma quadrática fatorável dentro de restrições inteiras, e engenheiros precisam da forma binômica inteira e raízes racionais exatas em vez de saída flutuante da fórmula que arredonda mal.
Autores de currículo que montam lições interativas querem a mesma forma para coeficientes principais mônicos e não mônicos, raízes repetidas quando o discriminante é zero, e uma bandeira honesta de não fatorável para exemplos no estilo x ao quadrado mais um. Se mais adiante você precisar de raízes complexas sem restrição, fatoração simbólica sobre racionais sem resolver, ou a fórmula quadrática completa com dados do vértice, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar esta página de resolver por fatoração.
Casos de uso
Exercícios de método AC e FOIL inverso
Confira os passos de resolução por fatoração da sala frente a fatorações por pares de divisores com conteúdo inteiro, incluindo coeficientes principais não mônicos e raízes repetidas.
Autocorreção LMS da escolha de método
Aceite respostas de alunos baseadas em fatoração apenas quando factorable for verdadeiro; encaminhe itens não fatoráveis a um avaliador de fórmula quadrática em vez de inventar raízes.
Perguntas frequentes
O que acontece se a quadrática não se fatora sobre os inteiros?
A resposta tem sucesso com factorable falso e uma nota de que a fatoração inteira falhou. Isso não é um erro; use a fórmula quadrática ou complete o quadrado para essas raízes.
Por que a, b e c devem ser inteiros?
Resolver por fatoração sobre os inteiros é o método de sala que esta página cobre.
Como as raízes são obtidas a partir dos fatores?
As raízes são devolvidas ordenadas de forma crescente.
Como resolvo x² − 5x + 6 = 0 por fatoração?
Procure dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja −5: são −2 e −3. Então x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), e igualando cada fator a zero saem as raízes 2 e 3.
Funciona quando a não vale 1?
Sim. Para 6x² + 5x + 1 o resultado é (2x + 1)(3x + 1), com raízes −1/2 e −1/3. Antes, o fator comum aos três coeficientes, se houver, é colocado em evidência.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_by_factoring",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura determinística, de modo que demos de lição de casa, chaves de resposta e pipelines de automação nunca divergem com os mesmos coeficientes.
Como funcionam a resolução por fatoração e o produto nulo
Todo o caminho é determinístico, sem sementes aleatórias, relógios nem chamadas de rede, de modo que coeficientes idênticos sempre produzem JSON idêntico.
Contrato de entrada, formato da resposta e quando a fatoração falha
Em sucesso quando a fatoração sobre inteiros falha, o corpo ainda devolve equação, polinômio e discriminante com factorable falso e uma nota de que o discriminante não é um quadrado perfeito ou nenhum par de divisores inteiros funciona, sem inventar raízes que o método de fatoração não pode justificar. Esse caminho de sucesso não fatorável é intencional: informar que a fatoração de sala não se aplica é uma resposta válida, não um erro de validação. Verificações clássicas: a igual a um, b igual a menos cinco, c igual a seis produz a forma fatorada parênteses x menos dois parênteses parênteses x menos três parênteses e raízes dois e três; a igual a dois, b igual a três, c igual a um produz parênteses x mais um parênteses parênteses dois x mais um parênteses e raízes menos um e menos um meio; a igual a um, b igual a zero, c igual a um não é fatorável sobre os inteiros. Conecte o formulário gratuito do navegador para lição de casa e checagens rápidas, e chame o contrato idêntico a partir de scripts quando precisar de chaves de resposta em massa. Envie um corpo JSON com três campos inteiros obrigatórios a, b e c que representam os coeficientes de a x ao quadrado mais b x mais c igual a zero. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica que arredonda limpo para um inteiro; valores não finitos, campos ausentes, strings vazias e não inteiros falham com invalid_input nomeando o campo e não são cobrados. Em sucesso quando a fatoração funciona, o corpo ecoa a, b e c; strings imprimíveis de equação e polinômio; o discriminante; factorable verdadeiro; content; um array factors de dois objetos cada um com coeff_x, const e uma string binomial; factored_form e equation_factored para exibição; solution_count; roots ordenadas em ordem crescente com arredondamento estável a doze dígitos significativos; um breve lembrete zero_product; e uma nota. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde uma calculadora de resolver por fatoração agrega valor
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Chaves de resposta de lição de casa e provas
Gere fatores binômicos exatos e raízes pelo produto nulo para conjuntos de livro ax²+bx+c=0, ou uma bandeira honesta de não fatorável quando a fatoração inteira não se aplica.
Perguntas técnicas
Como resolvo uma quadrática por fatoração com esta calculadora?
Envie coeficientes inteiros a (não nulo), b e c para ax²+bx+c=0. Quando o trinômio se fatora sobre os inteiros, a API devolve a forma fatorada e ambas as raízes pela propriedade do produto nulo.
Quanto custa a calculadora de resolver por fatoração?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.