Resolver cuadrática por factorización
Factorice una cuadrática como en su libro de texto: x² − 5x + 6 se convierte en (x − 2)(x − 3), así que las raíces son 2 y 3. Si no hay factorización con enteros, se le dice con claridad. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Ecuación
- x^2 - 5*x + 6 = 0
- Polinomio
- x^2 - 5*x + 6
- Discriminante
- 1
- Contenido
- 1
Resolver una cuadrática por factorización significa reescribir a por x al cuadrado más b por x más c como producto de dos binomios de grado uno con coeficientes enteros, igualar ese producto a cero y aplicar la propiedad del producto nulo para que cada binomio aporte una raíz. Esta calculadora acepta tres coeficientes enteros a, b y c de la ecuación a x al cuadrado más b x más c igual a cero, rechaza un coeficiente principal nulo para que el problema siga siendo genuinamente cuadrático, y devuelve una forma factorizada explícita como paréntesis x menos dos paréntesis paréntesis x menos tres paréntesis junto con las raíces ordenadas, o informa con honestidad de que el trinomio no se factoriza sobre los enteros. Comprobaciones clásicas de aula incluyen x al cuadrado menos cinco x más seis que pasa a paréntesis x menos dos paréntesis paréntesis x menos tres paréntesis con raíces dos y tres, seis x al cuadrado más cinco x más uno que pasa a paréntesis dos x más uno paréntesis paréntesis tres x más uno paréntesis con raíces menos un medio y menos un tercio, y x al cuadrado más uno que permanece no factorizable sobre los enteros aunque existan raíces complejas.
Cómo funcionan la resolución por factorización y el producto nulo
Una ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c igual a cero se puede resolver por factorización cuando el primer miembro se descompone en un contenido constante por dos binomios lineales con coeficientes enteros. Algebraicamente es la misma condición de que el discriminante sea un cuadrado perfecto para a, b y c enteros, lo que garantiza raíces racionales que, tras despejar denominadores, producen factores binómicos enteros mediante el FOIL inverso o el método AC.
La calculadora primero verifica que a, b y c sean enteros finitos dentro del rango de enteros seguros y que a no sea cero.
Luego extrae un factor de contenido igual al máximo común divisor de los tres coeficientes, preservando el signo para que el factor principal prefiera un primer coeficiente binómico positivo cuando sea posible, y busca pares de divisores: el coeficiente principal reducido se parte como p por r y la constante reducida como q por s de modo que la identidad cruzada p s más q r iguale el coeficiente lineal reducido.
Cuando tales enteros existen, la ecuación pasa a ser contenido por paréntesis p x más q paréntesis por paréntesis r x más s paréntesis igual a cero. Como el contenido es no nulo, la propiedad del producto nulo afirma que o bien p x más q es cero o bien r x más s es cero, lo que da las raíces x igual a menos q sobre p y x igual a menos s sobre r.
Cuando ningún par de divisores funciona, la respuesta marca factorable en falso y explica que la factorización entera falló, orientando al usuario hacia la fórmula cuadrática o completar el cuadrado en lugar de inventar factores irracionales o complejos que el método de factorización no produce. Los casos especiales se tratan con claridad: si c es cero entonces x es un factor explícito; si las dos raíces coinciden la lista de soluciones contiene un solo valor por raíz repetida.
Contrato de entrada, forma de respuesta y cuándo falla la factorización
Cuando a es cero el manejador rechaza la petición porque la ecuación sería lineal, no cuadrática, y factorizar una cuadrática sería la herramienta incorrecta. En éxito cuando la factorización sobre enteros falla, el cuerpo sigue devolviendo ecuación, polinomio y discriminante con factorable en falso y una nota de que el discriminante no es un cuadrado perfecto o no funciona ningún par de divisores enteros, sin inventar raíces que el método de factorización no puede justificar.
Esa ruta de éxito no factorizable es intencional: informar de que la factorización de aula no aplica es una respuesta válida, no un error de validación.
Comprobaciones clásicas: a igual a uno, b igual a menos cinco, c igual a seis produce la forma factorizada paréntesis x menos dos paréntesis paréntesis x menos tres paréntesis y raíces dos y tres; a igual a dos, b igual a tres, c igual a uno produce paréntesis x más uno paréntesis paréntesis dos x más uno paréntesis y raíces menos uno y menos un medio; a igual a uno, b igual a cero, c igual a uno no es factorizable sobre los enteros.
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Dónde aporta valor una calculadora de resolución por factorización
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad asignan ejercicios de resolver por factorización, FOIL inverso y método AC antes de introducir la fórmula cuadrática; un oráculo fiable que devuelve el producto binómico y las raíces por el producto nulo acelera la corrección y las demos sin saltarse el método que exige la rúbrica.
Los generadores de exámenes necesitan una herramienta determinista que distinga trinomios enteros factorizables de los casos en que el estudiante debe cambiar de método, de modo que los autoevaluadores acepten respuestas por factorización solo cuando factorable es verdadero y marquen el resto como trabajo de fórmula. Los calentamientos de concursos de programación y pantallas de entrevista a menudo ocultan una cuadrática factorizable dentro de restricciones enteras, y los ingenieros necesitan la forma binómica entera y raíces racionales exactas en lugar de salida flotante de la fórmula que redondea mal.
Los autores de currículo que construyen lecciones interactivas quieren la misma forma para coeficientes principales mónicos y no mónicos, raíces repetidas cuando el discriminante es cero, y una bandera honesta de no factorizable para ejemplos del estilo x al cuadrado más uno. Si más adelante necesita raíces complejas sin restricción, factorización simbólica sobre racionales sin resolver, o la fórmula cuadrática completa con datos del vértice, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de resolver por factorización.
Qué puede hacer con ella
Ejercicios de método AC y FOIL inverso
Compruebe los pasos de resolución por factorización del aula frente a factorizaciones por pares de divisores con contenido entero, incluidos coeficientes principales no mónicos y raíces repetidas.
Autoevaluación LMS de la elección de método
Acepte respuestas de estudiantes basadas en factorización solo cuando factorable sea verdadero; derive los ítems no factorizables a un evaluador de fórmula cuadrática en lugar de inventar raíces.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si la cuadrática no se factoriza sobre los enteros?
La respuesta tiene éxito con factorable en falso y una nota de que la factorización entera falló. No es un error; use la fórmula cuadrática o complete el cuadrado para esas raíces.
¿Por qué a, b y c deben ser enteros?
Resolver por factorización sobre los enteros es el método de aula al que apunta esta página.
¿Cómo se obtienen las raíces a partir de los factores?
Las raíces se devuelven ordenadas de forma ascendente.
¿Cómo resuelvo x² − 5x + 6 = 0 por factorización?
Busque dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5: son −2 y −3. Entonces x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), y al igualar cada factor a cero salen las raíces 2 y 3.
¿Funciona cuando a no vale 1?
Sí. Para 6x² + 5x + 1 obtiene (2x + 1)(3x + 1), con raíces −1/2 y −1/3. Antes se extrae el factor común que compartan los tres coeficientes, si lo hay.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_by_factoring",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La herramienta gratuita del navegador y la API de pago comparten una sola función pura determinista, de modo que demos de deberes, claves de respuesta y canalizaciones de automatización nunca divergen con los mismos coeficientes.
Cómo funcionan la resolución por factorización y el producto nulo
Toda la ruta es determinista, sin semillas aleatorias, relojes ni llamadas de red, de modo que coeficientes idénticos siempre producen JSON idéntico.
Contrato de entrada, forma de respuesta y cuándo falla la factorización
Envíe un cuerpo JSON con tres campos enteros obligatorios a, b y c que representan los coeficientes de a x al cuadrado más b x más c igual a cero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica que redondea limpiamente a un entero; valores no finitos, campos ausentes, cadenas vacías y no enteros fallan con invalid_input nombrando el campo y no se cobran. En éxito cuando la factorización funciona, el cuerpo repite a, b y c; cadenas imprimibles de ecuación y polinomio; el discriminante; factorable verdadero; content; un arreglo factors de dos objetos cada uno con coeff_x, const y una cadena binomial; factored_form y equation_factored para mostrar; solution_count; roots ordenadas de forma ascendente con redondeo estable a doce cifras significativas; un breve recordatorio zero_product; y una nota. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por elemento; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aporta valor una calculadora de resolución por factorización
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por elemento exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Claves de respuesta de deberes y exámenes
Genere factores binómicos exactos y raíces por producto nulo para conjuntos de libro ax²+bx+c=0, o una bandera honesta de no factorizable cuando la factorización entera no aplica.
Preguntas técnicas
¿Cómo resuelvo una cuadrática por factorización con esta calculadora?
Envíe coeficientes enteros a (no nulo), b y c para ax²+bx+c=0. Cuando el trinomio se factoriza sobre los enteros, la API devuelve la forma factorizada y ambas raíces por la propiedad del producto nulo.
¿Cuánto cuesta la calculadora de resolver por factorización?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se cobra.