Factorizar cuadrática
Escriba a, b y c y obtenga la expresión cuadrática factorizada en dos binomios: x² − 5x + 6 se convierte en (x − 2)(x − 3). Cuando no hay factores racionales, el resultado lo indica con claridad. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Polinomio
- x^2 - 5*x + 6
- Discriminante
- 1
- Contenido
- 1
- Forma factorizada
- (x - 2)(x - 3)
Factorizar un polinomio cuadrático significa reescribir a por x al cuadrado más b por x más c como producto de dos binomios de grado uno siempre que ese producto exista con coeficientes racionales. Esta calculadora toma tres números finitos a, b y c, rechaza un coeficiente principal nulo para que la entrada siga siendo genuinamente cuadrática, y devuelve una factorización explícita del tipo contenido por paréntesis p x más q paréntesis por paréntesis r x más s paréntesis, o informa de que la cuadrática es irreducible sobre los racionales. La irreducibilidad sobre los racionales se decide de forma exacta: tras despejar denominadores, el discriminante del modelo entero debe ser un cuadrado perfecto, lo que equivale a la existencia de raíces racionales y de factores binómicos racionales. Comprobaciones clásicas de aula incluyen x al cuadrado menos cinco x más seis que se convierte en paréntesis x menos dos paréntesis paréntesis x menos tres paréntesis, seis x al cuadrado más cinco x más uno que se convierte en paréntesis dos x más uno paréntesis paréntesis tres x más uno paréntesis, y x al cuadrado más uno que permanece irreducible sobre Q aunque se factorice sobre los complejos.
Cómo funciona la factorización racional de ax² + bx + c
Un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales se factoriza de forma no trivial sobre los racionales si y solo si tiene una raíz racional, lo que en grado dos equivale a que su discriminante sea el cuadrado de un número racional.
En la práctica la calculadora primero recupera fracciones exactas para a, b y c a partir de entradas finitas ordinarias mediante aproximación por fracciones continuas, de modo que decimales e enteros de libro de texto se mantienen exactos, y luego multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores para obtener un modelo entero A x al cuadrado más B x más C.
La factorización de esa cuadrática entera se realiza buscando pares de divisores: el coeficiente principal A se descompone como p por r y el término constante C como q por s de forma que la identidad cruzada p s más q r iguale B. Cuando tales enteros existen, el polinomio original se recupera como una escala de contenido racional por el producto de los dos binomios p x más q y r x más s.
Cuando no existe tal par, el discriminante del modelo entero no es un cuadrado perfecto y la respuesta marca la cuadrática como irreducible sobre los racionales. Esto es más estricto que factorizar sobre los reales: x al cuadrado menos dos es irreducible aquí aunque se factorice con raíces cuadradas, porque esos factores no son racionales.
Las factorizaciones complejas como x al cuadrado más uno igual a paréntesis x menos i paréntesis paréntesis x más i paréntesis también quedan fuera de alcance; quienes necesiten raíces en forma re o im deben usar un solucionador de fórmula cuadrática. Los coeficientes deben ser finitos; Infinity y NaN se rechazan.
Dónde aparece la factorización cuadrática en el trabajo real
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad asignan constantemente ejercicios de factorización por agrupación, método AC y FOIL inverso; un oráculo fiable que devuelve factores binómicos o una bandera honesta de irreducible acelera la corrección y las demos sin inventar factores irracionales o complejos que la rúbrica no permite. Los calentamientos de concursos de programación y pantallas de entrevista a menudo ocultan una cuadrática factorizable dentro de restricciones diofánticas enteras, y los ingenieros necesitan la forma binómica entera en lugar de raíces flotantes que redondean mal.
El preprocesado simbólico en calculadoras y frontales de CAS usa la factorización racional como un primer paso barato antes de algoritmos más pesados de mayor grado. Los cuadernos de física y finanzas a veces necesitan reescribir un coste o restricción cuadrática en factores lineales antes de fracciones parciales o análisis de signos, y rechazar a igual a cero evita etiquetar un modelo lineal como cuadrático.
Si más adelante necesita raíces complejas en forma cerrada, factorizaciones cúbicas o factorización sobre cuerpos finitos, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de factorización binómica racional.
Qué puede hacer con ella
Claves de respuesta de deberes y exámenes
Genere factores binómicos exactos o una bandera irreducible-sobre-Q para conjuntos de libro ax²+bx+c, de modo que docentes y autoevaluadores compartan una sola verdad de referencia.
Ejercicios de método AC y FOIL inverso
Compruebe los pasos de factorización del aula frente a factorizaciones por pares de divisores con contenido entero, incluidos factores repetidos y coeficientes principales no mónicos.
Preprocesado antes de fracciones parciales
Reescriba cuadráticas racionales en factores lineales sobre Q cuando sea posible antes de tablas de signos, fracciones parciales o resoluciones de restricciones enteras.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo es factorizable una cuadrática sobre los racionales?
Cuando su discriminante es el cuadrado de un racional (equivalentemente, cuando tiene una raíz racional). La herramienta devuelve entonces dos binomios con coeficientes racionales o enteros y una escala de contenido opcional.
¿Qué ocurre si a es cero?
Factorizar una cuadrática exige un coeficiente cuadrático no nulo; un binomio lineal bx + c es un problema distinto.
¿Es factorizable aquí x² − 2?
No. Se factoriza sobre los reales con √2, pero no sobre los racionales, así que la respuesta pone irreducible en verdadero. Eso coincide con el currículo estándar de álgebra.
¿En qué se diferencia de un solucionador de fórmula cuadrática?
Un solucionador de fórmula devuelve raíces (posiblemente complejas). Esta calculadora devuelve factores binómicos sobre Q o informa irreducible sobre Q. Intención de búsqueda distinta, aterrizaje distinto.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.factor_quadratic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La herramienta gratuita del navegador y la API de pago comparten una única función pura determinista, de modo que demos de deberes, claves de respuesta y canalizaciones automáticas nunca divergen con los mismos coeficientes.
Cómo funciona la factorización racional de ax² + bx + c
Toda la ruta es determinista, sin semillas aleatorias, relojes ni llamadas de red, de modo que coeficientes idénticos siempre producen JSON idéntico. El caso especial a aproximadamente cero se rechaza con invalid_input porque el grado bajaría y el problema dejaría de ser cuadrático.
Qué envía usted y qué recibe de vuelta
Envíe tres números finitos en los campos a, b y c que representan los coeficientes de a x al cuadrado más b x más c. Los tres campos son obligatorios. Cuando a es cero o extremadamente cercano a cero la petición falla con un mensaje claro de que factorizar una cuadrática exige un término cuadrático no nulo, de modo que el cliente puede pasar a una herramienta lineal en lugar de adivinar. Comprobaciones clásicas: a igual a uno, b igual a menos cinco, c igual a seis produce paréntesis x menos dos paréntesis paréntesis x menos tres paréntesis; a igual a seis, b igual a cinco, c igual a uno produce paréntesis dos x más uno paréntesis paréntesis tres x más uno paréntesis; a igual a uno, b igual a cero, c igual a uno es irreducible sobre los racionales; a igual a dos, b igual a cuatro, c igual a dos produce dos por paréntesis x más uno paréntesis al cuadrado en forma de producto. Campos ausentes, cadenas no numéricas, NaN e Infinity fallan con invalid_input y no se cobran. En caso de éxito la respuesta repite los coeficientes limpios, una cadena polinómica imprimible, el discriminante, banderas booleanas factorable e irreducible, y cuando existe factorización una escala de contenido, un arreglo factors de dos objetos cada uno con coeff_x, const y una cadena binómica, más una cadena compacta factored_form apta para mostrar. Un objeto cleared_integer muestra los coeficientes enteros A, B, C y la escala de denominador usada en la aritmética exacta, útil al depurar entradas fraccionarias. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por elemento; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparece la factorización cuadrática en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por elemento exitoso y la validación fallida no consume saldo.