Fórmula cuadrática
Introduzca a, b y c y obtenga las raíces directamente de la fórmula: x² − 3x + 2 tiene discriminante 1 y raíces 2 y 1, con el vértice de la parábola en (1,5; −0,25). Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- -3
- C
- 2
- Ecuación
- 1*x^2 + -3*x + 2 = 0
- Discriminante
- 1
- Tipo de raíz
- two_real
La fórmula cuadrática es la solución cerrada estándar para cualquier ecuación de la forma a por x al cuadrado más b por x más c igual a cero cuando a no es cero. Dados tres coeficientes finitos, este solucionador calcula el discriminante D igual a b al cuadrado menos cuatro a c, devuelve las dos raíces como números complejos con partes real e imaginaria, e informa el vértice de la parábola asociada. Cuando D es positivo obtiene dos raíces reales distintas; cuando D es cero, una raíz real repetida; cuando D es negativo, un par conjugado complejo. La misma respuesta siempre incluye el vértice en x igual a menos b entre dos a, de modo que el graficado y la completación de cuadrados se alinean con la respuesta algebraica. La entrada inválida o no cuadrática—sobre todo a igual a cero—se rechaza con un error claro de validación en lugar de una solución lineal silenciosa e incorrecta.
Cómo funcionan la fórmula cuadrática, el discriminante y el vértice
Parta de la ecuación polinómica general de segundo grado a por x al cuadrado más b por x más c igual a cero con a distinto de cero. Completar el cuadrado o derivar desde la forma vértice conduce a la misma expresión cerrada: x igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c, todo dividido entre dos a. La cantidad bajo el radical es el discriminante D igual a b al cuadrado menos cuatro a c.
Su signo clasifica por completo el conjunto de soluciones sobre los complejos: D mayor que cero da dos raíces reales distintas, D igual a cero da una raíz real de multiplicidad dos, y D menor que cero da dos conjugados complejos no reales cuya parte real es menos b entre dos a y cuyas partes imaginarias son más o menos la raíz del valor absoluto de D entre dos a.
Esta implementación no inventa factores simbólicos aproximados; evalúa la fórmula con emparejamiento cuidadoso de coma flotante de modo que, cuando una raíz sufriría cancelación por b de gran valor absoluto, la segunda se recupera con las identidades de producto de Vieta cuando esa vía es estable.
En paralelo a las raíces, la parábola y igual a a por x al cuadrado más b por x más c tiene su extremo único en el vértice x igual a menos b entre dos a, con y igual al valor de la función en esa abscisa. Ese vértice siempre se devuelve para que pueda trazar el eje de simetría, hallar el mínimo o máximo y contrastar los pasos de completar el cuadrado sin una segunda herramienta. Los coeficientes deben ser números finitos; se rechazan Infinity y NaN.
Qué envía y qué recibe a cambio
Envíe tres números finitos en los campos a, b y c que representan los coeficientes de a por x al cuadrado más b por x más c igual a cero. Los tres campos son obligatorios. Cuando a es cero o está extremadamente cerca de cero, la petición falla con un mensaje de que la fórmula cuadrática exige un término cuadrático no nulo, de modo que el cliente puede pasar a un solucionador lineal en lugar de adivinar.
Para soluciones reales im es cero; para complejas el par es conjugado con partes reales iguales e imaginarias opuestas. El objeto vertex siempre aporta x e y del extremo de la parábola. Un campo formula reexpresa la expresión clásica para etiquetas de interfaz y documentación.
Comprobaciones clásicas de libro: a igual a uno, b igual a menos tres, c igual a dos produce raíces dos y uno con discriminante uno y vértice en uno coma cinco, menos un cuarto; a igual a uno, b igual a menos dos, c igual a uno da raíz repetida en uno; a igual a uno, b igual a cero, c igual a uno da el par imaginario puro más o menos i.
Dónde aparecen los solucionadores cuadráticos en el trabajo real
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad asignan sin cesar ejercicios de resolver por fórmula, tablas de clasificación por discriminante y laboratorios de graficar la parábola; un único oráculo de confianza que devuelve raíces y vértice juntos agiliza la calificación y las demos.
Los problemas de concursos de programación y calentamientos de entrevista a menudo ocultan una cuadrática bajo cinemática física, alcance de proyectiles o modelos de punto de equilibrio, y los ingenieros necesitan clasificación exacta de resultados reales frente a complejos en lugar de un NaN silencioso de una raíz cuadrada sin control. Los cuadernos de datos y finanzas resuelven puntos de equilibrio de curvas cuadráticas de costo o demanda y deben rechazar a igual a cero en lugar de etiquetar un caso lineal como cuadrático.
Los motores gráficos y de juegos muestrean arcos parabólicos y necesitan el vértice para la altura del ápice, a la vez que exponen raíces en forma cerrada para ecuaciones de tiempo de colisión de la forma a por t al cuadrado más b por t más c igual a cero. Si más adelante necesita formas cerradas cúbicas o cuárticas, sistemas de dos ecuaciones o factorización simbólica sobre enteros, trátelos como intenciones de búsqueda y páginas de aterrizaje separadas en lugar de sobrecargar esta página del solucionador de la fórmula cuadrática.
Qué puede hacer con ella
Claves de respuesta de deberes y exámenes
Genere raíces exactas, clase de discriminante y coordenadas del vértice para conjuntos de libro ax²+bx+c, de modo que docentes y autoevaluadores compartan una sola verdad de referencia.
Preguntas frecuentes
¿Qué fórmula usa este solucionador cuadrático?
La fórmula cuadrática clásica x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El discriminante D = b² − 4ac selecciona dos raíces reales, una raíz real repetida o un par conjugado complejo.
¿Devuelve raíces complejas?
Sí. Cuando D < 0 el arreglo roots contiene dos objetos con el mismo re e im opuestos (par conjugado). Cuando las raíces son reales, im es cero.
¿Qué es el campo vertex?
Para la parábola y = ax² + bx + c, vertex.x es −b/(2a) y vertex.y es el valor de la función en esa x. Es el mínimo cuando a > 0 y el máximo cuando a < 0.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Cómo mantiene la precisión cuando b es muy grande?
Cuando una raíz perdería cifras al restar dos números casi iguales, la segunda se recupera a partir del producto de las raíces, c/a, siempre que ese camino sea estable. De este modo ambas raíces siguen siendo fiables.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-3,"c":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-3,"c":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-3,"c":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo funcionan la fórmula cuadrática, el discriminante y el vértice
Toda la ruta es determinista—sin semillas aleatorias, relojes, llamadas de red ni deriva de modelo—, de modo que coeficientes idénticos siempre producen JSON idéntico. El caso especial a aproximadamente cero se rechaza con invalid_input porque la fórmula dividiría entre cero y el problema dejaría de ser cuadrático.
Qué envía y qué recibe a cambio
Campos ausentes, cadenas no numéricas, NaN e Infinity fallan con invalid_input y no se cobran. En caso de éxito la respuesta repite los coeficientes limpios, una cadena de ecuación imprimible, el discriminante como número, root_type como uno de two_real, one_real o complex, un indicador booleano real_roots y un arreglo roots de dos objetos cada uno con re e im. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por elemento; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparecen los solucionadores cuadráticos en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio API es la base publicada de $0.002 por elemento exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Tiempos en física y cinemática
Resuelva a t² + b t + c = 0 en modelos de proyectil o caída libre y sepa de inmediato si los tiempos de impacto son reales o complejos.
Punto de equilibrio y modelos parabólicos
Halle ceros y vértice de curvas cuadráticas de costo, ingreso o demanda en cuadernos sin tratar en silencio a=0 como cuadrática.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si a es cero?
La petición falla con invalid_input. La fórmula cuadrática exige un coeficiente cuadrático no nulo; la ecuación lineal bx + c = 0 es un problema distinto.