Formula quadratica
Inserisca a, b e c e ottenga le radici direttamente dalla formula: x² − 3x + 2 ha discriminante 1 e radici 2 e 1, con il vertice della parabola in (1,5; −0,25). Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- -3
- C
- 2
- Equazione
- 1*x^2 + -3*x + 2 = 0
- Discriminante
- 1
- Tipo di radice
- two_real
La formula quadratica è la soluzione chiusa standard per qualsiasi equazione della forma a per x al quadrato più b per x più c uguale a zero quando a non è zero. Dati tre coefficienti finiti, questo solutore calcola il discriminante D uguale a b al quadrato meno quattro a c, restituisce le due radici come numeri complessi con parti reale e immaginaria, e riporta il vertice della parabola associata. Quando D è positivo ottiene due radici reali distinte; quando D è zero, una radice reale ripetuta; quando D è negativo, una coppia coniugata complessa. La stessa risposta include sempre il vertice in x uguale a meno b su due a, così grafici e completamento del quadrato restano allineati con la risposta algebrica. L'input non valido o non quadratico—soprattutto a uguale a zero—viene respinto con un chiaro errore di validazione invece di una soluzione lineare silenziosa e sbagliata.
Come funzionano formula quadratica, discriminante e vertice
Parta dall'equazione polinomiale generale di secondo grado a per x al quadrato più b per x più c uguale a zero con a non nullo. Completare il quadrato o derivare dalla forma vertice porta alla stessa espressione chiusa: x uguale a meno b più o meno la radice quadrata di b al quadrato meno quattro a c, il tutto diviso per due a. La quantità sotto il radicale è il discriminante D uguale a b al quadrato meno quattro a c.
Il suo segno classifica interamente l'insieme delle soluzioni sui complessi: D maggiore di zero produce due radici reali distinte, D uguale a zero produce una radice reale di molteplicità due, e D minore di zero produce due coniugati complessi non reali la cui parte reale è meno b su due a e le cui parti immaginarie sono più o meno la radice del valore assoluto di D su due a.
Questa implementazione non inventa fattori simbolici approssimati; valuta la formula con un accoppiamento floating-point attento così che, quando una radice soffrirebbe cancellazione per b di grande valore assoluto, la seconda viene recuperata dalle identità di prodotto di Vieta quando quel percorso è stabile. In parallelo alle radici, la parabola y uguale a a per x al quadrato più b per x più c ha il suo unico estremo nel vertice x uguale a meno b su due a, con y uguale al valore della funzione in quella ascissa.
Quel vertice è sempre restituito così Lei può tracciare l'asse di simmetria, trovare il minimo o il massimo e verificare i passi del completamento del quadrato senza un secondo strumento. I coefficienti devono essere numeri finiti; Infinity e NaN vengono respinti.
Cosa invia e cosa riceve in risposta
Invii tre numeri finiti nei campi a, b e c che rappresentano i coefficienti di a per x al quadrato più b per x più c uguale a zero. Tutti e tre i campi sono obbligatori. Quando a è zero o estremamente vicino a zero, la richiesta fallisce con un messaggio che la formula quadratica richiede un termine quadratico non nullo, così i client possono passare a un solutore lineare invece di indovinare.
Per soluzioni reali im è zero; per complesse la coppia è coniugata con parti reali uguali e immaginarie opposte. L'oggetto vertex fornisce sempre x e y dell'estremo della parabola. Un campo formula riformula l'espressione classica per etichette di interfaccia e documentazione.
Controlli classici da manuale: a uguale a uno, b uguale a meno tre, c uguale a due produce radici due e uno con discriminante uno e vertice in uno virgola cinque, meno un quarto; a uguale a uno, b uguale a meno due, c uguale a uno dà radice ripetuta in uno; a uguale a uno, b uguale a zero, c uguale a uno dà la coppia immaginaria pura più o meno i.
Dove i solutori quadratici compaiono nel lavoro reale
I corsi di algebra delle scuole superiori e dell'università assegnano di continuo esercizi di risoluzione per formula, tabelle di classificazione per discriminante e laboratori di tracciamento della parabola; un unico oracolo affidabile che restituisce radici e vertice insieme accelera la correzione e le demo. I problemi di gare di programmazione e i riscaldamenti da colloquio spesso nascondono una quadratica sotto cinematica fisica, gittata di proiettile o modelli di break-even, e gli ingegneri necessitano di classificazione esatta reale versus complesso anziché un NaN silenzioso da radice quadrata non controllata.
I notebook di dati e finanza risolvono punti di equilibrio di curve quadratiche di costo o domanda e devono rifiutare a uguale a zero piuttosto che etichettare un caso lineare come quadratico. I motori grafici e di gioco campionano archi parabolici e necessitano del vertice per l'altezza dell'apice, esponendo comunque radici in forma chiusa per equazioni di tempo di collisione della forma a per t al quadrato più b per t più c uguale a zero.
Se in seguito Le servono forme chiuse cubiche o quartiche, sistemi di due equazioni o fattorizzazione simbolica sugli interi, li tratti come intenzioni di ricerca e landing separate anziché sovraccaricare questa pagina del solutore della formula quadratica.
Casi d'uso
Chiavi di risposta per compiti ed esami
Generi radici esatte, classe del discriminante e coordinate del vertice per insiemi da manuale ax²+bx+c così docenti e autovalutatori condividono un'unica verità di riferimento.
Domande frequenti
Quale formula usa questo solutore quadratico?
La formula quadratica classica x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Il discriminante D = b² − 4ac seleziona due radici reali, una radice reale ripetuta o una coppia coniugata complessa.
Restituisce radici complesse?
Sì. Quando D < 0 l'array roots contiene due oggetti con lo stesso re e im opposti (coppia coniugata). Quando le radici sono reali, im è zero.
Che cos'è il campo vertex?
Per la parabola y = ax² + bx + c, vertex.x è −b/(2a) e vertex.y è il valore della funzione in quella x. È il minimo quando a > 0 e il massimo quando a < 0.
Quanto costa?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Come si mantiene la precisione quando b è molto grande?
Quando una radice perderebbe cifre sottraendo due numeri quasi uguali, la seconda viene ricavata dal prodotto delle radici, c/a, ogni volta che questa strada è stabile. In questo modo entrambe le radici restano affidabili.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come funzionano formula quadratica, discriminante e vertice
L'intero percorso è deterministico—senza semi casuali, orologi, chiamate di rete né deriva del modello—, così coefficienti identici producono sempre JSON identico. Il caso speciale a approssimativamente zero è respinto con invalid_input perché la formula dividerebbe per zero e il problema non sarebbe più quadratico.
Cosa invia e cosa riceve in risposta
Campi mancanti, stringhe non numeriche, NaN e Infinity falliscono con invalid_input e non vengono addebitati. In caso di successo la risposta riecheggia i coefficienti ripuliti, una stringa di equazione stampabile, il discriminante come numero, root_type come uno tra two_real, one_real o complex, un flag booleano real_roots e un array roots di due oggetti ciascuno con re e im. Il prezzo delle chiamate API riuscite è la base pubblicata di $0.002 per elemento; i fallimenti di validazione non consumano il saldo prepagato.
Dove i solutori quadratici compaiono nel lavoro reale
Poiché questa capacità è un motore di parse puro, il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito e la validazione fallita non consuma saldo.
Casi di integrazione
Tempi in fisica e cinematica
Risolva a t² + b t + c = 0 per modelli di proiettile o caduta libera e sappia subito se i tempi d'impatto sono reali o complessi.
Break-even e modelli parabolici
Trovi zeri e vertice di curve quadratiche di costo, ricavo o domanda nei notebook senza trattare in silenzio a=0 come quadratico.
Domande tecniche
Cosa succede se a è zero?
La richiesta fallisce con invalid_input. La formula quadratica richiede un coefficiente quadratico non nullo; l'equazione lineare bx + c = 0 è un problema diverso.