Quadratische Formel

Die quadratische Formel ist die standardmäßige geschlossene Lösung für jede Gleichung der Form a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null, wenn a ungleich null ist. Bei drei endlichen Koeffizienten berechnet dieser Löser die Diskriminante D gleich b im Quadrat minus vier a c, liefert die beiden Wurzeln als komplexe Zahlen mit Real- und Imaginärteil und meldet den Scheitel der zugehörigen Parabel. Bei positivem D erhalten Sie zwei verschiedene reelle Wurzeln; bei D gleich null eine doppelte reelle Wurzel; bei negativem D ein konjugiert-komplexes Paar. Dieselbe Antwort enthält stets den Scheitel bei x gleich minus b durch zwei a, damit Grafik und quadratische Ergänzung mit der algebraischen Antwort übereinstimmen. Ungültige oder nicht quadratische Eingabe—vor allem a gleich null—wird mit einem klaren Validierungsfehler abgewiesen statt einer stillen, falschen linearen Lösung.

So arbeitet die Lösungsformel

Jede Gleichung der Form ax² + bx + c gleich null mit a ungleich null lässt sich mit derselben Formel lösen: x ist minus b plus oder minus die Wurzel aus b² − 4ac, geteilt durch 2a. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie null, eine doppelte; ist sie negativ, ein Paar konjugiert komplexer Lösungen mit dem Realteil −b/(2a). Bei x² − 3x + 2 ist die Diskriminante 1, die Lösungen sind 2 und 1.

Scheitel, Kontrolle und typische Fehler

Zusätzlich erhalten Sie den Scheitel der zugehörigen Parabel bei x gleich −b/(2a), für das Beispiel den Punkt (1,5 | −0,25). Damit können Sie Symmetrieachse und Tiefpunkt einzeichnen und eine quadratische Ergänzung überprüfen. Typische Fehler sind ein falsches Vorzeichen bei b, das Teilen nur der Wurzel statt des ganzen Zählers durch 2a und ein vergessenes Minus in −4ac. Wer die Lösungen kontrollieren möchte, setzt sie in die Gleichung ein oder prüft, ob ihr Produkt c/a ergibt.

So funktionieren quadratische Formel, Diskriminante und Scheitel

Gehen Sie von der allgemeinen Polynomgleichung zweiten Grades a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null mit a ungleich null aus. Quadratische Ergänzung oder Ableitung aus der Scheitelform führen zum selben geschlossenen Ausdruck: x gleich minus b plus oder minus die Quadratwurzel aus b im Quadrat minus vier a c, alles geteilt durch zwei a. Die Größe unter dem Radikal ist die Diskriminante D gleich b im Quadrat minus vier a c.

Ihr Vorzeichen klassifiziert die Lösungsmenge über den komplexen Zahlen vollständig: D größer null liefert zwei verschiedene reelle Wurzeln, D gleich null eine reelle Wurzel der Vielfachheit zwei, und D kleiner null zwei nicht reelle konjugiert-komplexe Zahlen, deren Realteil minus b durch zwei a ist und deren Imaginärteile plus oder minus die Wurzel des Absolutbetrags von D durch zwei a sind.

Diese Implementierung erfindet keine genäherten symbolischen Faktoren; sie wertet die Formel mit sorgfältiger Gleitkomma-Paarung aus, sodass bei Auslöschung einer Wurzel bei großem absolutem b die zweite Wurzel über die Vieta-Produktidentitäten gewonnen wird, sobald dieser Weg stabil ist. Parallel zu den Wurzeln hat die Parabel y gleich a mal x im Quadrat plus b mal x plus c ihr eindeutiges Extremum im Scheitel x gleich minus b durch zwei a, mit y gleich dem Funktionswert an dieser Abszisse.

Dieser Scheitel wird stets zurückgegeben, damit Sie die Symmetrieachse zeichnen, Minimum oder Maximum finden und die Schritte der quadratischen Ergänzung ohne zweites Werkzeug prüfen können. Koeffizienten müssen endliche Zahlen sein; Infinity und NaN werden abgewiesen.

Was Sie senden und was Sie zurückbekommen

Senden Sie drei endliche Zahlen unter den Feldern a, b und c als Koeffizienten von a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null. Alle drei Felder sind Pflicht. Wenn a null oder extrem nahe null ist, schlägt die Anfrage mit der Meldung fehl, dass die quadratische Formel einen nichtverschwindenden Quadratterm verlangt, sodass Clients zu einem linearen Löser wechseln können statt zu raten.

Bei reellen Lösungen ist im null; bei komplexen ist das Paar konjugiert mit gleichen Realteilen und entgegengesetzten Imaginärteilen. Das vertex-Objekt liefert stets x und y des Parabel-Extremums. Ein formula-Feld wiederholt den klassischen Ausdruck für UI-Beschriftungen und Dokumentation.

Klassische Lehrbuchprüfungen: a gleich eins, b gleich minus drei, c gleich zwei liefert die Wurzeln zwei und eins mit Diskriminante eins und Scheitel bei eins Komma fünf, minus ein Viertel; a gleich eins, b gleich minus zwei, c gleich eins liefert eine doppelte Wurzel bei eins; a gleich eins, b gleich null, c gleich eins liefert das rein imaginäre Paar plus oder minus i.

Wo quadratische Löser in der Praxis auftreten

Algebrakurse an Schulen und Hochschulen vergeben ständig Übungen zum Lösen per Formel, Diskriminanten-Klassifikationstabellen und Parabel-Zeichenlabore; ein einziges vertrauenswürdiges Orakel, das Wurzeln und Scheitel gemeinsam liefert, beschleunigt Bewertung und Demo-Aufbau. Programmierwettbewerbsaufgaben und Interview-Aufwärmungen verstecken oft eine Quadratische unter physikalischer Kinematik, Wurfweite oder Break-even-Umsatzmodellen, und Ingenieure brauchen exakte Klassifikation reell versus komplex statt eines stillen NaN aus unkontrollierter Quadratwurzel. Daten- und Finanznotebooks lösen Break-even-Punkte quadratischer Kosten- oder Nachfragekurven und müssen a gleich null ablehnen statt einen linearen Fall als quadratisch zu etikettieren.

Grafik- und Spielengines abtasten parabolische Bögen und brauchen den Scheitel für die Scheitelhöhe, während sie weiterhin geschlossene Wurzeln für Kollisionszeit-Gleichungen der Form a mal t im Quadrat plus b mal t plus c gleich null bereitstellen. Wenn Sie später kubische oder quartische geschlossene Formen, Systeme zweier Gleichungen oder symbolische Faktorisierung über den ganzen Zahlen brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Landingpages statt diese Seite des Quadratformel-Lösers zu überladen.