二次方程式の解の公式
a、b、cを入れるだけで解の公式から解を求めます。x² − 3x + 2の判別式は1で、解は2と1、放物線の頂点は(1.5, −0.25)です。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- A
- 1
- B
- -3
- C
- 2
- 方程式
- 1*x^2 + -3*x + 2 = 0
- 判別式
- 1
- 根の種類
- two_real
二次方程式の解の公式は、aが零でないとき、aかけるxの二乗たすbかけるxたすcが零という形の方程式に対する標準的な閉形式解です。有限な三つの係数を与えると、本ソルバーは判別式Dがbの二乗ひく四a cを計算し、実部と虚部を持つ複素数として二つの根を返し、対応する放物線の頂点も報告します。Dが正なら相異なる二つの実根、Dが零なら重複する一つの実根、Dが負なら共役な複素根の対が得られます。同じ応答には常にxがマイナスb割る二aの頂点が含まれ、グラフ作成や平方完成の宿題が代数的な答えと一致したままになります。無効または二次でない入力—特にaが零—は、誤った一次解を黙って返すのではなく、明確な検証エラーで拒否されます。
解の公式・判別式・頂点の仕組み
aが非零である一般の二次多項式方程式、aかけるxの二乗たすbかけるxたすcが零から始めます。平方完成や頂点形式からの導出は、いずれも同じ閉表現に至ります。すなわちxはマイナスbプラスマイナスbの二乗ひく四a cの平方根を、二aで割ったものです。
根号の下の量が判別式Dで、bの二乗ひく四a cです。その符号が複素数上の解集合を完全に分類します。Dが零より大きいと相異なる二つの実根、Dが零だと多重度二の一つの実根、Dが零より小さいと非実の共役複素対となり、その実部はマイナスb割る二a、虚部はプラスマイナス絶対値Dの平方根を二aで割ったものです。
本実装は近似的な記号因数を捏造しません。浮動小数のペアリングに注意して公式を評価し、絶対値の大きなbで一方の根が桁落ちする場合は、その経路が安定なときビエータの積の恒等式から第二根を回復します。根と並行して、yがaかけるxの二乗たすbかけるxたすcの放物線は、頂点xがマイナスb割る二aに唯一の極値を持ち、yはその横座標での関数値です。
その頂点は常に返されるので、対称軸の作図、最小または最大の確認、平方完成の手順の照合を第二のツールなしで行えます。係数は有限数でなければならず、InfinityとNaNは拒否されます。公式が零除算になり、問題が二次でなくなるためです。
送信内容と返却内容
aが零または極めて零に近い場合、二次の公式は非零の二次項を要するというメッセージで失敗し、クライアントは推測ではなく一次ソルバーへ切り替えられます。実解ではimは零、複素解では実部が等しく虚部が逆符号の共役対です。vertexオブジェクトは常に放物線極値のxとyを提供します。
古典的な教科書チェック：aが1、bがマイナス3、cが2なら根は2と1、判別式1、頂点は1.5とマイナス0.25；aが1、bがマイナス2、cが1なら根1の重複；aが1、bが0、cが1なら純虚数対プラスマイナスi。宿題と素早い健全性確認には無料のブラウザフォームを、解答キーや回帰フィクスチャの一括生成にはスクリプトから同一契約を呼び出してください。
実務で二次ソルバーが現れる場面
中等・大学の代数では公式による解法ドリル、判別式の分類表、放物線の作図ラボが絶えず出題され、根と頂点を一緒に返す信頼できる単一のオラクルは採点とデモ準備を加速します。
プログラミングコンテストや面接のウォーミングアップは、物理の運動学、投射物の飛距離、損益分岐の収益モデルの下に二次式を隠すことが多く、技術者は未検査の平方根による黙ったNaNではなく、実と複素の正確な分類を必要とします。
データと金融のノートブックは二次の費用曲線や需要曲線の損益分岐を解き、線形ケースを二次と誤表示するのではなくaが零を拒否しなければなりません。グラフィックスとゲームエンジンは放物線弧をサンプリングし、頂点を頂点高に使いながら、aかけるtの二乗たすbかけるtたすcが零という衝突時刻の閉形式根も公開します。
三次・四次の閉形式、二方程式系、整数上の記号因数分解が後で必要なら、本ページを過負荷にせず、別の検索意図とランディングとして扱ってください。
活用例
宿題と試験の解答キー
教科書のax²+bx+cセットに対し正確な根・判別式の区分・頂点座標を生成し、教員と自動採点が一つの正解を共有できるようにします。
よくある質問
この二次ソルバーはどの公式を使いますか？
古典的な解の公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) です。判別式 D = b² − 4ac が二つの実根、重複実根、または共役複素対を選びます。
複素根は返しますか？
はい。 D < 0 のとき roots 配列は同じ re と反対符号の im を持つ二つのオブジェクト（共役対）を保持します。実根のときは im は零です。
頂点はどのように求めていますか？
放物線の頂点のx座標は−b/(2a)で、y座標はその点での関数の値です。x² − 3x + 2なら頂点は(1.5, −0.25)で、軸や最小値の確認に使えます。
aに0を入れたらどうなりますか？
二次の項がなくなり解の公式が使えないため、はっきりしたメッセージで知らせます。一次方程式として扱いたい場合は、別の方法で解いてください。
bがとても大きいときも正確ですか？
ほぼ等しい2数の引き算で桁落ちしそうなときは、もう一方の解を解の積c/aから求めます。こうして両方の解の精度を保ちます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-3,"c":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-3,"c":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-3,"c":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料のブラウザツールと有料APIは一つの純粋関数を共有するため、授業デモ、コンテスト用フィクスチャ、自動パイプラインは同じa、b、cで決して食い違いません。
解の公式・判別式・頂点の仕組み
経路全体は決定的であり、乱数シードも時計もネットワーク呼び出しもモデルのドリフトもなく、同一の係数は常に同一のJSONを生成します。aがほぼ零の特殊ケースはinvalid_inputで拒否されます。
送信内容と返却内容
aかけるxの二乗たすbかけるxたすcが零の係数を表す有限な三つの数を、フィールドa、b、cとして送ってください。三つとも必須です。 欠落フィールド、非数値文字列、NaN、Infinityはinvalid_inputで失敗し、課金されません。成功時の応答は、整形済み係数、印刷可能な方程式文字列、数値としての判別式、two_real・one_real・complexのいずれかであるroot_type、真偽値のreal_rootsフラグ、それぞれreとimを持つ二つのオブジェクトからなる配列rootsをエコーします。formulaフィールドはUIラベルと文書用に古典的な式を再掲します。成功したAPI呼び出しの料金は公開ベースの$0.002毎件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。
実務で二次ソルバーが現れる場面
本機能は純粋なparseエンジンなので、API料金は成功一件あたり公開ベースの$0.002で、検証失敗は残高を消費しません。
連携の活用例
物理・運動学の時刻
投射物や自由落下のモデルでa t² + b t + c = 0を解き、衝突時刻が実か複素かを直ちに判定します。
損益分岐と放物線モデル
ノートブックで二次の費用・収益・需要曲線の零点と頂点を求め、a=0を黙って二次扱いしません。
技術的な質問
aが零のときはどうなりますか？
リクエストはinvalid_inputで失敗します。二次の公式は非零の二次係数を必要とし、線形方程式 bx + c = 0 は別問題です。
vertexフィールドとは何ですか？
放物線 y = ax² + bx + c について、vertex.x は −b/(2a)、vertex.y はその x での関数値です。a > 0 なら最小、a < 0 なら最大です。
料金はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。APIリクエストは前払いKIT残高を成功一件あたり$0.002で使用し、無効入力は課金されません。