二次関数の最大・最小
放物線の頂点となる点を一度で求めます。f(x) = x² − 6x + 5はaが正で上に開くので、xが3のとき最小値−4をとります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- 値
- -4
- 方程式
- f(x) = x^2 - 6x + 5
- 種類
- minimum
- X
- 3
二次関数 f の x が a かける x の二乗たす b かける x たす c は放物線として表されます。先頭係数 a が向きを決めます。a が正なら腕は上に開き、変曲点は大域的な最小です。a が負なら腕は下に開き、変曲点は大域的な最大です。この二次関数の最大・最小計算機は、微分を使わずにその変曲点を求めます。極値が起きる入力は常に x がマイナス b 割る二 a であり、極値はその点での関数値、同等に c ひく b の二乗割る四 a です。有限な三つの係数を送ってください。応答は a の符号から極値の種類を名付け、入力 x を返し、極値そのものを返します。ネットワーク呼び出しも乱数抽出も日付もありません。
a の符号が最大か最小かを決める理由
非退化の二次式はどれも放物線であり、放物線の変曲点はただ一つです。平方完成は f の x を a かける開き括弧 x ひく h 閉じ括弧の二乗たす k に書き直し、h はマイナス b 割る二 a、k は c ひく b の二乗割る四 a です。二乗された因子は負にならないので、取りうる最小は零であり、それは x が h のときに限ります。
a が正なら a かけるその平方は少なくとも零で、f の x は少なくとも k です。頂点は大域的な最小で、グラフは上に開きます。a が負なら a かけるその平方は高々零で、f の x は高々 k です。
頂点は大域的な最大で、グラフは下に開きます。微分も同じ対に至ります。一階導関数 二 a x たす b は x がマイナス b 割る二 a で消え、二階導関数 二 a は最小なら正、最大なら負です。
二つの閉形式を評価し、a の符号で結果を分類します。それが二次関数の最大最小計算機として検索される意図です。方程式の根でも、幾何の焦点と準線でも、頂点形式への変換そのものでもなく、極値とその起きる入力です。
対称軸は同じ垂直線 x が h なので、答えはスケッチから読み取る高点または低点でもあります。a がちょうど零だと恒等式は崩れ、一意の頂点はありません。一次または定数の式に二次の極値があると装う代わりに、本機能はそれを拒否します。
入力する値と結果、計算例
a は非零の先頭係数、b は一次の係数、c は定数項です。a が零、または放物線を定義できないほど零に近い場合、ax の二乗たす bx たす c は一次または定数になり一意の二次最大・最小を持たないため、要求は拒否されます。
成功時の本体は安定した丸めのあと a、b、c をエコーし、表示用に f の x として書き直した方程式文字列、maximum または minimum である kind、頂点の横座標である x、関数の極値である value、それらの座標の二元配列である vertex、up または down である opens、閉形式を再掲する formula 文字列を返します。
最小の例：a が 1、b がマイナス 6、c が 5 なら f の x は x の二乗ひく六 x たす五、opens は up、kind は minimum、x は 3、value はマイナス 4 です。頂点公式が 3 を与え、1 かける 9 ひく 6 かける 3 たす 5 がマイナス 4 になるからです。
最大の例：a がマイナス 2、b が 8、c がマイナス 3 なら f の x はマイナス 2 x の二乗たす 8 x ひく 3、opens は down、kind は maximum、x は 2、value は 5 です。スケッチが必要ならご自身の作図器と組み合わせてください。
最大値・最小値の計算が役立つ場面
代数の授業は頂点を、微分を必要としない最初の最適化問題として導入し、入試は今でも与えられた二次式が最大か最小かを述べ、入力と値の両方を名指すよう求めます。学習支援の基盤と LMS 採点は、学習者が b の符号を誤って計算した頂点を受け入れるのではなく、a の符号を分類して k を評価する決定的なオラクルを必要とします。
物理と工学のノートは投射物の高さ、費用の放物線、微小信号の二次モデルを同じ三係数に帰着させます。問題集の解答キーや競技用フィクスチャを作る製品チームは、返された x と value をテストに固定でき、表示文字列の後からの書き換えが数値を黙って変えることを防げます。検証失敗は残高を消費しません。
要求を小さく保ち、a が零を硬い誤りとして扱い、宿題・プラグイン・エッジワーカー向けに再現可能な極値を得てください。根を解く、平方完成する、焦点の幾何データを列挙する関連ツールは別の問いに答えます。極値とその起きる場所が問いであるときは、こちらをお使いください。
活用例
授業での頂点確認
学習者に a、b、c を送らせ、二次式が最大か最小か、頂点の入力と極値まで確認させます。
試験と LMS の自動採点
a が零を拒否し、一次式に変曲点を捏造しない決定的なオラクルで、最大・最小の設問を採点します。
ノートと二次モデル
数式処理の大きなライブラリを取り込まず、スクリプト内で当てはめた放物線の山または谷を評価します。
よくある質問
ax² + bx + c の最大または最小はどう求めますか？
有限数 a（非零）、b、c を送ってください。a > 0 なら最小、a < 0 なら最大です。
a の符号は最大と最小をどう分けますか？
正の先頭係数は放物線を上に開くので、頂点は大域的な最小です。負の先頭係数は下に開くので、頂点は大域的な最大です。
a が零だとどうなりますか？
a が零のとき式は一次または定数であり、一意の二次最大・最小はありません。その失敗は課金されません。
x² − 6x + 5の最小値はどう求めますか？
−b/(2a)を計算すると3で、そこで最小になります。その点の値c − b²/(4a)は−4なので、放物線の最も低い点は(3, −4)です。
微分を使う必要はありますか？
ありません。導関数2ax + bは−b/(2a)で0になりますが、位置と値の2つの公式を使えば、微分しなくても同じ結果が得られます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_max_min",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
a が零のとき式は二次ではなく、頂点を捏造する代わりに invalid_input で失敗します。成功した API 呼び出しは $0.002 で課金され、検証失敗は課金されません。
a の符号が最大か最小かを決める理由
本エンドポイントは微分せず、中間の書き直しとして平方完成もしません。
入力契約・応答フィールド・計算例
必須の有限数三つを持つ JSON オブジェクトを POST してください。各フィールドは JSON 数でも数値文字列でもよく、欠落・空文字・NaN・Infinity はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。当てはまらない任意フィールドは省略され、null としては返りません。本機能は極値だけを報告し、グラフも根も formula フィールド以外の多段の文章も出しません。
二次の最大・最小 API が役立つ場面
小さな parse エンドポイントを呼べば、一つの閉形式のために数式処理系を引き込む必要はありません。実装は純粋な parse の段階 A なので、成功した呼び出しは毎回公開されている基本料金 $0.002 で、モデルのトークンも外向きのネットワークもありません。
技術的な質問
頂点は極値と同じですか。
頂点は点 (x, value) です。フィールド x は極値が起きる入力、value は最大または最小そのもの、kind はどちらであるかを示します。
二次関数の最大・最小計算機の料金はいくらですか。
ブラウザの道具は無料です。API 要求は成功一件あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効な入力は課金されません。