أقصى وأدنى ل ax²+bx+c

الدالة التربيعية f ل x المساوية ل a في x تربيع زائد b في x زائد c تُرسم قطعًا مكافئًا. المعامل القائد a يقرر الاتجاه: عندما يكون a موجبًا تنفتح الذراعان إلى الأعلى ويكون نقطة الانعطاف نهاية صغرى شاملة؛ وعندما يكون a سالبًا تنفتحان إلى الأسفل وتكون نقطة الانعطاف نهاية عظمى شاملة. حاسبة النهاية العظمى والصغرى التربيعية هذه تعيّن نقطة الانعطاف تلك دون تفاضل. المدخل الذي يقع عنده الطرف هو دائمًا x يساوي ناقص b على اثنين a، والقيمة الطرفية هي الدالة مقيَّمة هناك، وبصورة مكافئة c ناقص b تربيع على أربعة a. أرسلوا المعاملات الثلاثة المنتهية. تسمّي الاستجابة نوع الطرف من إشارة a، وتعيد المدخل x، وتعيد القيمة الطرفية ذاتها. لا استدعاء شبكة ولا أخذ عينات ولا تاريخ.

لماذا تقرر إشارة a نهاية عظمى أو صغرى

كل تربيعية غير منحلة قطع مكافئ، وللقطع المكافئ نقطة انعطاف واحدة فقط. إكمال المربع يعيد كتابة f ل x على صورة a في قوس مفتوح x ناقص h قوس مغلق تربيع زائد k، حيث h يساوي ناقص b على اثنين a وk يساوي c ناقص b تربيع على أربعة a. العامل المربّع لا يكون سالبًا أبدًا، فأصغر ما يبلغه هو الصفر، وذلك يحدث فقط عند x يساوي h.

إذا كان a موجبًا فإن a في ذلك المربع لا يقل عن صفر وf ل x لا تقل عن k: الرأس نهاية صغرى شاملة والمنحنى ينفتح إلى الأعلى. إذا كان a سالبًا فإن a في ذلك المربع لا يزيد على صفر وf ل x لا تزيد على k: الرأس نهاية عظمى شاملة والمنحنى ينفتح إلى الأسفل. يصل التفاضل إلى الزوج نفسه: المشتقة الأولى اثنان a x زائد b تتلاشى عند x يساوي ناقص b على اثنين a، والمشتقة الثانية اثنان a موجبة للنهاية الصغرى وسالبة للنهاية العظمى.

لا يفاضل هذا المسار أبدًا ولا يكمل المربع كإعادة كتابة وسيطة؛ بل يقيّم الصيغتين المغلقتين ويصنّف النتيجة من إشارة a. تلك هي نية البحث التي تُكتب كحاسبة نهاية عظمى وصغرى تربيعية: ليست جذور معادلة، ولا بؤرة ودليلًا هندسيين، ولا تحويلًا إلى شكل الرأس لذاته، بل القيمة الطرفية والمدخل الذي تقع عنده. محور التماثل هو المستقيم الرأسي نفسه x يساوي h، فالجواب هو أيضًا النقطة العليا أو الدنيا التي تُقرأ من رسم تخطيطي.

عندما يكون a صفرًا تمامًا تنهار المتطابقة ولا يوجد رأس وحيد، وترفض هذه القدرة ذلك بدل الادعاء بأن عبارة خطية أو ثابتة لها طرف تربيعي.

عقد الإدخال وحقول الاستجابة والأعداد المحلولة

إذا كان a صفرًا، أو قريبًا من الصفر بحيث لا يعرّف قطعًا مكافئًا، تُرفض الطلبية لأن ax تربيع زائد bx زائد c ستكون خطية أو ثابتة ولن يكون لها نهاية عظمى أو صغرى تربيعية وحيدة. عند النجاح يعيد الجسم a وb وc بعد تقريب مستقر؛ وسلسلة معادلة معاد كتابتها ك f ل x للعرض؛ وkind بوصفها maximum أو minimum؛ وx كإحداثي الرأس الأفقي؛ وvalue كقيمة الدالة الطرفية؛ وvertex كمصفوفة عنصرين لتلك الإحداثيات؛ وopens بوصفها up أو down؛ وسلسلة formula تعيد صياغة الصيغ المغلقة.

تُحذف الحقول الاختيارية التي لا تنطبق، ولا تُعاد أبدًا على صورة null. مثال نهاية صغرى: a يساوي واحدًا وb يساوي ناقص ستة وc يساوي خمسة يعطي f ل x تساوي x تربيع ناقص ستة x زائد خمسة، وopens up، وkind minimum، وx يساوي ثلاثة، وvalue يساوي ناقص أربعة، لأن صيغة الرأس تعطي ثلاثة وواحد في تسعة ناقص ستة في ثلاثة زائد خمسة يساوي ناقص أربعة.

مثال نهاية عظمى: a يساوي ناقص اثنين وb يساوي ثمانية وc يساوي ناقص ثلاثة يعطي f ل x تساوي ناقص اثنين x تربيع زائد ثمانية x ناقص ثلاثة، وopens down، وkind maximum، وx يساوي اثنين، وvalue يساوي خمسة. اقرنوا الاستجابة برسّامكم إن احتجتم رسمًا؛ فهذه القدرة تبلغ عن الطرف فقط ولا تُصدر رسومًا ولا جذورًا ولا نثرًا متعدد الخطوات سوى حقل formula. التقريب إلى اثنتي عشرة مرتبة يُبقي الاختبارات الذهبية مستقرة عبر بيئات التشغيل دون اختراع أرقام زائدة.

من يستفيد من حساب القيمة العظمى والصغرى

تقدّم مقررات الجبر الرأس بوصفه أول مسألة تحسين لا تحتاج تفاضلًا، وما زالت امتحانات القبول تطلب بيان ما إذا كانت تربيعية معطاة ذات نهاية عظمى أو صغرى وتسمية المدخل والقيمة معًا. تحتاج منصات الدروس ومصححات LMS إلى وحي حتمي يصنّف إشارة a ويقيّم k بدل قبول رأس حسبه متعلم بإشارة خاطئة على b. تختزل دفاتر الفيزياء والهندسة ارتفاع المقذوف وأمثال التكلفة والنماذج التربيعية للإشارة الصغيرة إلى المعاملات الثلاثة نفسها؛ واستدعاء مسار parse صغير يغني عن سحب نظام جبر حاسوبي من أجل صيغة مغلقة واحدة.

تستطيع فرق المنتج التي تولّد مفاتيح أوراق التمارين أو ثوابت المسابقات تثبيت x وvalue المُعادين في الاختبارات حتى لا تغيّر إعادة كتابة لاحقة لسلسلة العرض الأرقام في صمت. تستفيد مواقع المحتوى التي تتصدر لحاسبة النهاية العظمى والصغرى التربيعية من ودجت حي يطابق مساره المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها. لا يستهلك التحقق الفاشل الرصيد.

أبقوا الطلبات صغيرة، وعاملوا a يساوي صفرًا خطأً قاطعًا، فتحصلون على أطراف قابلة للتكرار للواجبات والإضافات وعاملات الحافة دون إقامة بنية رياضيات رمزية خاصة بكم. الأدوات ذات الصلة التي تحل الجذور أو تكمل المربع أو تسرد بيانات هندسية للبؤرة تجيب عن أسئلة أخرى؛ استخدموا هذه عندما يكون السؤال القيمة الطرفية وأين تقع.