Massimo e minimo di ax²+bx+c

Una funzione quadratica f di x uguale a a per x al quadrato più b per x più c si rappresenta come una parabola. Il coefficiente direttivo a decide l'orientamento: quando a è positivo i rami si aprono verso l'alto e il punto di svolta è un minimo globale; quando a è negativo si aprono verso il basso e il punto di svolta è un massimo globale. Questa calcolatrice di massimo e minimo quadratico individua quel punto di svolta senza calcolo differenziale. L'ingresso in cui si verifica l'estremo è sempre x uguale a meno b su due a, e il valore estremo è la funzione valutata lì, in modo equivalente c meno b al quadrato su quattro a. Invii i tre coefficienti finiti. La risposta nomina il tipo di estremo dal segno di a, restituisce l'ingresso x e restituisce il valore estremo stesso. Non c'è chiamata di rete, né campionamento, né data.

Perché il segno di a decide un massimo o un minimo

Ogni quadratica non degenere è una parabola, e una parabola ha esattamente un punto di svolta. Completare il quadrato riscrive f di x come a per parentesi aperta x meno h parentesi chiusa al quadrato più k, con h uguale a meno b su due a e k uguale a c meno b al quadrato su quattro a. Il fattore al quadrato non è mai negativo, quindi il valore più piccolo possibile è zero, e ciò accade solo in x uguale a h.

Se a è positivo, a per quel quadrato è almeno zero e f di x è almeno k: il vertice è un minimo globale e il grafico si apre verso l'alto. Se a è negativo, a per quel quadrato è al più zero e f di x è al più k: il vertice è un massimo globale e il grafico si apre verso il basso.

Il calcolo differenziale arriva alla stessa coppia: la derivata prima due a x più b si annulla in x uguale a meno b su due a, e la derivata seconda due a è positiva per un minimo e negativa per un massimo. È la ricerca che si digita come calcolatrice di massimo e minimo quadratico: non le radici di un'equazione, non un fuoco e una direttrice geometrici, e non una conversione nella forma del vertice per se stessa, bensì il valore estremo e l'ingresso in cui si verifica.

L'asse di simmetria è la stessa retta verticale x uguale a h, quindi la risposta è anche il punto alto o basso che Lei leggerebbe da uno schizzo. Quando a è esattamente zero l'identità crolla e non c'è un vertice unico, cosa che questa capacità rifiuta invece di fingere che un'espressione lineare o costante abbia un estremo quadratico.

Contratto di ingresso, campi della risposta e numeri risolti

Se a è zero, o così vicino a zero da non poter definire una parabola, la richiesta viene rifiutata perché ax al quadrato più bx più c sarebbe lineare o costante e non avrebbe un massimo o un minimo quadratico unico.

In caso di successo il corpo ripete a, b e c dopo un arrotondamento stabile; una stringa di equazione riscritta come f di x per la visualizzazione; kind come maximum o minimum; x come l'ascissa del vertice; value come il valore estremo della funzione; vertex come l'array di due elementi di quelle coordinate; opens come up o down; e una stringa formula che riafferma le forme chiuse. I campi facoltativi che non si applicano sono omessi, mai restituiti come null.

Esempio di un minimo: a uguale a uno, b uguale a meno sei, c uguale a cinque dà f di x uguale a x al quadrato meno sei x più cinque, opens up, kind minimum, x uguale a tre e value uguale a meno quattro, perché la formula del vertice produce tre e uno per nove meno sei per tre più cinque è meno quattro.

Esempio di un massimo: a uguale a meno due, b uguale a otto, c uguale a meno tre dà f di x uguale a meno due x al quadrato più otto x meno tre, opens down, kind maximum, x uguale a due e value uguale a cinque. Abbini la risposta al proprio tracciatore se ha bisogno di uno schizzo; questa capacità segnala solo l'estremo e non emette grafici, radici né prosa in più passaggi oltre al campo formula.

A chi serve il calcolo di massimo e minimo

I corsi di algebra presentano il vertice come il primo problema di ottimizzazione che non richiede il calcolo differenziale, e gli esami di ammissione chiedono ancora di indicare se una quadratica data ha un massimo o un minimo e di nominare sia l'ingresso sia il valore. Le piattaforme di tutoraggio e i correttori LMS hanno bisogno di un oracolo deterministico che classifichi il segno di a e valuti k invece di accettare un vertice che uno studente ha calcolato con il segno sbagliato su b.

Una convalida fallita non consuma il saldo. Tenga le richieste piccole, tratti a uguale a zero come errore duro, e otterrà estremi riproducibili per i compiti, i plugin e i worker di bordo senza erigere una propria infrastruttura di matematica simbolica. Gli strumenti correlati che risolvono le radici, completano il quadrato o elencano i dati geometrici del fuoco rispondono ad altre domande; usi questo quando la domanda è il valore estremo e dove si verifica.