Sistemi di equazioni

Un sistema di due equazioni lineari chiede l'unico punto (x, y) in cui due rette del piano si incontrano. Scriva la prima retta come a1 x più b1 y uguale a c1 e la seconda come a2 x più b2 y uguale a c2, poi invii quei sei coefficienti finiti. Questo calcolatore di sistemi di equazioni applica la regola di Cramer: il determinante dei coefficienti D vale a1 per b2 meno b1 per a2, Dx sostituisce la colonna delle x con le costanti, Dy sostituisce quella delle y, e la soluzione unica è x uguale a Dx su D e y uguale a Dy su D ogni volta che D non è zero.

Che cos'è un sistema a due equazioni e quando esiste un (x, y) unico

Un'equazione lineare in due incognite descrive una retta. Due di tali equazioni insieme formano un sistema: ogni coppia (x, y) che soddisfa entrambe le identità insieme è una soluzione. Nel grafico è l'intersezione delle due rette.

Quando le pendenze differiscono, si incrociano in esattamente un punto, e quel punto è la soluzione unica che questo calcolatore restituisce. Quando le pendenze coincidono, o le rette distinte non si incontrano mai, oppure si sovrappongono come la stessa retta. In entrambi i casi paralleli il determinante dei coefficienti a1 b2 meno b1 a2 vale zero, e una coppia unica non esiste.

In aula questa geometria si incontra prima col tracciato, poi con l'eliminazione o la sostituzione, e più tardi con la regola di Cramer, che è la forma chiusa usata qui: si sostituisce la prima colonna della matrice dei coefficienti con i termini noti per ottenere Dx, la seconda per ottenere Dy, e si divide ciascun minore per il determinante. L'esito algebrico è identico all'eliminazione e alla sostituzione; cambiano solo i passi scritti.

Questa pagina risponde alla ricerca generica «sistemi di equazioni»: Lei ha già i sei numeri da una scheda, da un quaderno di laboratorio o da un modello a due incognite, e vuole gli x e y unici senza scegliere un metodo nominato. Se Le serve uno sviluppo per sostituzione o un tableau di Cramer 3×3, usi le pagine dedicate a quelle query. Qui il contratto è più piccolo e più stretto: soluzione unica oppure un errore tipizzato.

Ciò corrisponde a come molti correttori e script trattano una coppia di rette: vogliono un punto, o un fallimento chiaro da mostrare allo studente come «le rette sono parallele».

Contratto di ingresso, regola di Cramer e fallimento delle rette parallele

Il motore forma poi tre determinanti 2×2: D vale a1 b2 meno b1 a2, Dx vale c1 b2 meno b1 c2 e Dy vale a1 c2 meno c1 a2. Se il valore assoluto di D è minore di un epsilon numerico minuscolo, le rette sono trattate come parallele e la richiesta viene rifiutata con il messaggio che il sistema non ha soluzione unica perché le rette sono parallele.

Quel singolo errore copre il caso incompatibile (due rette parallele distinte, nessun punto in comune) e il caso dipendente (la stessa retta scritta due volte, infiniti punti). La capacità non inventa un punto rappresentativo e non restituisce un oggetto di successo con una bandiera di stato: l'assenza di soluzione unica è un errore del cliente, non un successo fatturato. Quando D è chiaramente non nullo, x vale Dx su D e y vale Dy su D.

La risposta ripete quei due valori come risultato principale, più unique true, i tre determinanti puliti, due stringhe di visualizzazione delle equazioni originali e un campo formula che riformula la regola di Cramer. I numeri sono arrotondati a dodici decimali così i goldens restano stabili tra runtime.

Dove un calcolatore di sistemi di equazioni trova impiego

Le aule di algebra e le piattaforme di tutoraggio usano un calcolatore di sistemi di equazioni perché gli studenti possano verificare l'intersezione di due rette senza perdere un segno nell'eliminazione o isolare la variabile sbagliata. I generatori di esami hanno bisogno di un oracolo deterministico che segni i coefficienti paralleli come assenza di soluzione unica, invece di restituire in silenzio una coppia vuota che un correttore difettoso potrebbe trattare come successo.

I modelli a due incognite compaiono ben oltre l'aula: domanda e offerta in un mercato semplice, problemi di miscela con due ingredienti, maglie di Kirchhoff ridotte a due correnti, e soglie di pareggio che uguagliano costo e ricavo su una coppia di previsioni lineari. Una convalida fallita non consuma il saldo.

Tenga finiti i sei valori, tratti un determinante nullo come errore duro, fissi gli x e y arrotondati nei test, e otterrà intersezioni riproducibili per i compiti, i plugin LMS e i worker di bordo, senza erigere un'infrastruttura simbolica propria. Abbini questa pagina a un risolutore di una sola equazione lineare quando c'è una sola incognita, e a un risolutore 3×3 quando compare una terza variabile.