Sistemas de equações

Um sistema de duas equações lineares pede o único ponto (x, y) em que duas retas do plano se encontram. Escreva a primeira reta como a1 x mais b1 y igual a c1 e a segunda como a2 x mais b2 y igual a c2, e envie esses seis coeficientes finitos. Esta calculadora de sistemas de equações aplica a regra de Cramer: o determinante dos coeficientes D vale a1 vezes b2 menos b1 vezes a2, Dx troca a coluna de x pelas constantes, Dy troca a de y, e a solução única é x igual a Dx sobre D e y igual a Dy sobre D sempre que D não for zero.

O que é um sistema de duas equações e quando existe um (x, y) único

Uma equação linear em duas incógnitas descreve uma reta. Duas dessas equações juntas formam um sistema: todo par (x, y) que satisfaz as duas identidades ao mesmo tempo é uma solução. No gráfico, isso é a interseção das duas retas.

Quando as inclinações são diferentes, elas se cruzam em exatamente um ponto, e esse ponto é a solução única que esta calculadora devolve. Quando as inclinações coincidem, ou as retas distintas nunca se encontram, ou se sobrepõem como a mesma reta. Nos dois casos paralelos o determinante dos coeficientes a1 b2 menos b1 a2 vale zero, e um par único não existe.

A sala de aula costuma ver essa geometria primeiro no gráfico, depois com eliminação ou substituição, e mais tarde com a regra de Cramer, que é a forma fechada usada aqui: troque a primeira coluna da matriz de coeficientes pelos termos independentes para obter Dx, a segunda para obter Dy, e divida cada menor pelo determinante. O resultado algébrico é idêntico ao da eliminação e ao da substituição; só mudam os passos escritos.

Esta página atende à busca genérica «sistemas de equações»: você já tem os seis números de uma ficha, de um caderno de laboratório ou de um modelo de duas incógnitas, e quer o x e o y únicos sem escolher um método com nome. Se precisar de um desenvolvimento por substituição ou de um tableau de Cramer 3×3, use as páginas dedicadas a essas consultas. Aqui o contrato é menor e mais rígido: solução única ou um erro tipado.

Isso combina com o modo como muitos corretores e scripts tratam um par de retas — querem um ponto, ou uma falha clara que possam mostrar ao aluno como «as retas são paralelas».

Contrato de entrada, regra de Cramer e falha das retas paralelas

O motor forma então três determinantes 2×2: D vale a1 b2 menos b1 a2, Dx vale c1 b2 menos b1 c2 e Dy vale a1 c2 menos c1 a2. Se o valor absoluto de D for menor que um épsilon numérico minúsculo, as retas são tratadas como paralelas e o pedido é recusado com a mensagem de que o sistema não tem solução única porque as retas são paralelas.

Esse único erro cobre o caso inconsistente (duas retas paralelas distintas, nenhum ponto em comum) e o caso dependente (a mesma reta escrita duas vezes, infinitos pontos). A capacidade não inventa um ponto representativo e não devolve um objeto de sucesso com uma bandeira de estado: ausência de solução única é erro do cliente, não um acerto faturável. Quando D é claramente não nulo, x vale Dx sobre D e y vale Dy sobre D.

A resposta ecoa esses dois valores como resultado principal, mais unique true, os três determinantes limpos, duas cadeias de exibição das equações originais e um campo formula que reafirma a regra de Cramer. Os números são arredondados a doze casas decimais para que os goldens fiquem estáveis entre runtimes.

Onde uma calculadora de sistemas de equações se paga

Salas de álgebra e plataformas de tutoria usam uma calculadora de sistemas de equações para que o aluno confira a interseção de duas retas sem perder um sinal na eliminação ou isolar a variável errada. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque coeficientes paralelos como ausência de solução única, em vez de devolver em silêncio um par vazio que um corretor com defeito poderia tratar como acerto.

Modelos de duas incógnitas aparecem bem longe da sala: oferta e demanda em um mercado simples, problemas de mistura com dois ingredientes, laços de Kirchhoff reduzidos a duas correntes, e pontos de equilíbrio que igualam custo e receita em um par de previsões lineares. Validação falha não consome saldo. Mantenha os seis valores finitos, trate um determinante nulo como erro duro, fixe o x e o y arredondados nos testes e você obtém interseções reproduzíveis para lição, plugins LMS e workers de borda, sem montar infraestrutura simbólica própria.

Combine esta página com um resolvedor de uma só equação linear quando houver apenas uma incógnita, e com um resolvedor 3×3 quando surgir uma terceira variável.