Matriz aumentada [A|b]
Digite a matriz aumentada [A|b] e saiba se o sistema tem uma solução, infinitas ou nenhuma; o exemplo clássico de três equações devolve a solução (2, 3, −1). Você também vê o posto e a forma escalonada reduzida. Grátis no seu navegador.
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Uma matriz aumentada reúne o sistema linear Ax igual a b em um único arranjo [A|b] para que as operações por linhas atuem ao mesmo tempo sobre coeficientes e termos independentes. Alunos que aplicam Gauss-Jordan à mão, tutores que corrigem exercícios e scripts de automação que já guardam sistemas como matrizes aumentadas precisam de uma resposta determinística: um vetor solução único quando o posto de A coincide com o número de variáveis, um sinal claro de infinitas soluções quando restam variáveis livres, ou o aviso de que não há solução quando uma linha reduzida é toda zeros à esquerda e não nula à direita. Este resolvedor de matriz aumentada aceita essa matriz como um arranjo retangular de números finitos, reduz com pivô parcial e devolve status, posto, RREF e a solução quando ela é única.
O que uma matriz aumentada codifica e como a redução decide o caso
Um sistema linear com m equações e n incógnitas escreve-se Ax igual a b, onde A é m por n e b é uma coluna de comprimento m. Empilhar b como coluna extra produz a matriz aumentada [A|b] com m linhas e n mais uma colunas. As operações elementares por linhas—trocar duas linhas, escalar uma linha por uma constante não nula ou somar um múltiplo de uma linha a outra—não alteram o conjunto de soluções do sistema.
A eliminação de Gauss-Jordan com pivô parcial cria de forma sistemática uns nos pivôs e zera as demais entradas de cada coluna pivô até deixar a matriz em forma escalonada reduzida por linhas. Após a redução aparecem três resultados mutuamente exclusivos. Se alguma linha for toda zeros do lado dos coeficientes e uma constante não nula à direita, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Se cada linha não nula tiver um pivô em uma coluna de coeficientes e o número de pivôs for n, cada variável fica determinada e há uma solução única lida da última coluna. Se o sistema for consistente mas o número de pivôs for menor que n, resta ao menos uma variável livre e há infinitas soluções.
Onde um resolvedor de matriz aumentada agrega valor
Os cursos de álgebra linear apresentam sistemas por matrizes aumentadas muito antes da inversa ou de Cramer, de modo que aprendizes buscam um resolvedor de matriz aumentada que espelhe a notação [A|b] dos apontamentos. Cadernos de engenharia que já montam blocos de restrições como linhas aumentadas evitam separar A e b só para chamar um resolvedor quadrado; aqui sistemas retangulares e sobre ou subdeterminados são de primeira classe. A validação falha não consome saldo.
Mantenha as requisições dentro dos limites de linhas e colunas, fixe o RREF e a solução arredondados nos testes, e obtenha classificações reproduzíveis para lições, geradores de provas e workers na borda sem montar um sistema completo de álgebra computacional.
Casos de uso
Checagens Gauss-Jordan em sala
Os alunos colam a matriz [A|b] e comparam status, posto, RREF e solução única com a redução manual, inclusive casos infinitos e inconsistentes.
Correção automática LMS e provas
Pontue itens de sistemas lineares confrontando o vetor solução ordenado quando único, ou a classificação infinite/none quando o sistema é singular ou inconsistente.
Cadernos com sistemas retangulares
Resolva ou classifique blocos sobre e subdeterminados guardados como linhas aumentadas sem exigir matriz de coeficientes quadrada nem um vetor b separado.
Perguntas frequentes
Como resolvo um sistema a partir de uma matriz aumentada?
Envie matrix como linhas de [A|b] (números finitos, mesmo comprimento de linha).
Quando se devolve status none?
Quando o RREF contém uma linha de zeros nas colunas de coeficientes e um termo independente não nulo—o padrão clássico inconsistente [0 … 0 | c]. Não há solução.
A matriz precisa ser quadrada?
Não. Linhas e colunas podem diferir (dentro dos limites). Sistemas quadrados com pivôs completos dão solução única; retangulares podem ser únicos, infinitos ou inconsistentes conforme o posto.
O que significa o sistema ter infinitas soluções?
Significa que o sistema é possível, mas tem menos pivôs do que incógnitas, então pelo menos uma variável fica livre. A ferramenta avisa e mostra a matriz reduzida para você ler essas variáveis livres.
Qual é o tamanho máximo da matriz?
Até 32 linhas e 33 colunas, ou seja, 32 equações com 32 incógnitas. Cada linha precisa de pelo menos dois números, um coeficiente e o termo independente, e todas devem ter o mesmo comprimento.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.augmented_matrix_solver",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que uma matriz aumentada codifica e como a redução decide o caso
Este endpoint informa esses três casos no campo status como unique, infinite ou none, e anexa o RREF limpo para que você possa mostrar a mesma forma intermediária que um livro imprimiria após a redução manual.
Contrato de entrada, formato da resposta e regras de validação
Cada linha deve ter ao menos duas entradas (uma coluna de coeficientes mais o termo independente). Aceitam-se no máximo trinta e duas linhas e trinta e três colunas para limitar o trabalho em edge workers. Quando status é none, solution é omitido e a mensagem explica a linha inconsistente zeros à esquerda e não nula à direita. Exemplo: matrix igual a [[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]] é o sistema clássico de três variáveis com solução única [2,3,-1]. Combine a resposta com seu próprio gráfico ou registro de passos se precisar de operações por linhas animadas; esta capacidade devolve a classificação e o RREF, não um relato de cada troca. Envie por POST um corpo JSON com o campo obrigatório matrix: um arranjo de uma ou mais linhas, cada uma um arranjo de números finitos de mesmo comprimento. Os aliases augmented, a, A e mat são aceitos para o mesmo campo; a matriz também pode chegar como string JSON desse arranjo. Linhas irregulares, matrizes vazias, entradas não finitas e tamanhos excessivos falham com invalid_input nomeando o problema, e essas falhas não são cobradas. Em caso de sucesso o corpo sempre inclui status (unique, infinite ou none), num_equations, num_variables, rank (número de pivôs no bloco de coeficientes), rref (a matriz aumentada reduzida com arredondamento estável) e uma mensagem breve legível. Quando status é unique, solution é um arranjo de comprimento num_variables com x na ordem das variáveis x1 a xn. Quando status é infinite, free_variables conta quantas variáveis não têm pivô; o vetor solução particular é omitido porque há muitas parametrizações válidas.
Onde um resolvedor de matriz aumentada agrega valor
Plataformas de tutoria e plugins LMS podem enviar por POST as matrizes dos alunos e corrigir soluções únicas contra o arranjo ordenado, tratando infinite e none como classificações corretas distintas e não como listas vazias silenciosas. Como a implementação é parse de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Perguntas técnicas
O que significa status infinite?
O sistema reduzido é consistente, mas o posto é menor que o número de variáveis, restando variáveis livres e infinitas soluções. free_variables as conta; não se devolve um único vetor solução.
Quanto custa o resolvedor de matriz aumentada?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.