Matrice aumentata [A|b]
Inserisca la matrice aumentata [A|b] e scopra se il sistema ha una soluzione, infinite o nessuna; il classico esempio a tre equazioni restituisce la soluzione (2, 3, −1). Vede anche il rango e la forma a scala ridotta. Gratis nel suo browser.
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Una matrice aumentata raccoglie il sistema lineare Ax uguale a b in un unico array [A|b] affinché le operazioni elementari sulle righe agiscano insieme su coefficienti e termini noti. Studenti che applicano Gauss-Jordan a mano, tutor che controllano i compiti e script di automazione che già memorizzano i sistemi come matrici aumentate hanno bisogno di una risposta deterministica: un vettore soluzione unico quando il rango di A coincide con il numero di variabili, un segnale chiaro di infinite soluzioni quando restano variabili libere, oppure l’indicazione di assenza di soluzione quando una riga ridotta è tutta zeri a sinistra e non nulla a destra. Questo risolutore di matrice aumentata accetta quella matrice come array rettangolare di numeri finiti, la riduce con pivot parziale e restituisce stato, rango, RREF e la soluzione quando è unica.
Cosa codifica una matrice aumentata e come la riduzione decide il caso
Un sistema lineare con m equazioni e n incognite si scrive Ax uguale a b, dove A è m per n e b è una colonna di lunghezza m. Impilare b come colonna extra produce la matrice aumentata [A|b] con m righe e n più una colonne. Le operazioni elementari sulle righe—scambiare due righe, scalare una riga per una costante non nulla o aggiungere un multiplo di una riga a un’altra—non cambiano l’insieme delle soluzioni del sistema.
L’eliminazione di Gauss-Jordan con pivot parziale crea in modo sistematico uni di pivot e annulla le altre voci di ciascuna colonna pivot finché la matrice è in forma a scala ridotta per righe. Dopo la riduzione compaiono tre esiti mutuamente esclusivi. Se una riga è tutta zeri dal lato dei coefficienti e una costante non nulla a destra, il sistema è inconsistente e non ha soluzione.
Se ogni riga non nulla ha un pivot in una colonna di coefficienti e il numero di pivot vale n, ogni variabile è determinata e c’è una soluzione unica letta dall’ultima colonna. Se il sistema è consistente ma il numero di pivot è minore di n, resta almeno una variabile libera e ci sono infinite soluzioni.
Dove un risolutore di matrice aumentata crea valore
I corsi di algebra lineare introducono i sistemi tramite matrici aumentate molto prima dell’inversa o di Cramer, quindi gli studenti cercano un risolutore di matrice aumentata che rispecchi la notazione [A|b] degli appunti. I notebook di ingegneria che già assemblano blocchi di vincoli come righe aumentate evitano di separare A e b solo per chiamare un risolutore quadrato; qui i sistemi rettangolari e sovra o sottodeterminati sono di prima classe. La validazione fallita non consuma il saldo.
Mantenga le richieste entro i limiti di righe e colonne, fissi RREF e soluzione arrotondate nei test, e otterrà classificazioni riproducibili per compiti, generatori di esami e worker al bordo senza erigere un intero stack di algebra computazionale.
Casi d'uso
Controlli Gauss-Jordan in classe
Gli studenti incollano la matrice [A|b] e confrontano status, rango, RREF e soluzione unica con la riduzione manuale, inclusi i casi infiniti e inconsistenti.
Valutazione automatica LMS ed esami
Punteggi gli item di sistemi lineari confrontando il vettore soluzione ordinato quando è unico, oppure la classificazione infinite/none quando il sistema è singolare o inconsistente.
Notebook con sistemi rettangolari
Risolva o classifichi blocchi sovra e sottodeterminati memorizzati come righe aumentate senza richiedere una matrice dei coefficienti quadrata né un vettore b separato.
Domande frequenti
Come si risolve un sistema da una matrice aumentata?
Invii matrix come righe di [A|b] (numeri finiti, stessa lunghezza di riga).
La matrice deve essere quadrata?
No. Righe e colonne possono differire (entro i limiti). I sistemi quadrati con pivot completi danno soluzione unica; i rettangolari possono essere unici, infiniti o inconsistenti a seconda del rango.
Cosa significa che il sistema ha infinite soluzioni?
Il sistema è compatibile ma ha meno pivot che incognite, quindi almeno una variabile resta libera. Lo strumento lo segnala e mostra la matrice ridotta, così può leggere le variabili libere.
Quando il sistema non ha soluzione?
Quando, dopo la riduzione, compare una riga con tutti zeri tra i coefficienti e un termine noto diverso da zero. Lo strumento lo indica, non mostra alcuna soluzione e le spiega quale riga è incompatibile.
Quanto può essere grande la matrice?
Fino a 32 righe e 33 colonne, cioè 32 equazioni in 32 incognite. Ogni riga deve avere almeno due numeri, un coefficiente e il termine noto, e tutte devono avere la stessa lunghezza.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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[
2,
1,
-1,
8
],
[
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-1,
2,
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],
[
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2,
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]
]
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver",
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-1,
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[
-2,
1,
2,
-3
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]
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/augmented-matrix-solver", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.augmented_matrix_solver",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa codifica una matrice aumentata e come la riduzione decide il caso
Questo endpoint segnala quei tre casi nel campo status come unique, infinite o none, e allega la RREF ripulita affinché Lei possa mostrare la stessa forma intermedia che un manuale stamperebbe dopo la riduzione a mano.
Contratto di ingresso, forma della risposta e regole di validazione
Ogni riga deve avere almeno due voci (una colonna di coefficienti più il termine noto). Sono accettate al massimo trentadue righe e trentatré colonne per limitare il lavoro degli edge worker. Quando status è none, solution è omesso e il messaggio spiega la riga inconsistente zeri a sinistra e non nulla a destra. Esempio: matrix uguale a [[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]] è il sistema classico a tre variabili con soluzione unica [2,3,-1]. Abbini la risposta al proprio grafico o registro di passi se serve animare le operazioni di riga; questa capacità restituisce la classificazione e la RREF, non il racconto di ogni scambio. Invii in POST un corpo JSON con il campo obbligatorio matrix: un array di una o più righe, ciascuna un array di numeri finiti di uguale lunghezza. Gli alias augmented, a, A e mat sono accettati per lo stesso campo; la matrice può anche arrivare come stringa JSON di quell’array. Righe irregolari, matrici vuote, voci non finite e dimensioni eccessive falliscono con invalid_input indicando il problema, e tali fallimenti non sono fatturati. In caso di successo il corpo include sempre status (unique, infinite o none), num_equations, num_variables, rank (numero di pivot nel blocco dei coefficienti), rref (la matrice aumentata ridotta con arrotondamento stabile) e un breve messaggio leggibile. Quando status è unique, solution è un array di lunghezza num_variables con x nell’ordine delle variabili x1 fino a xn. Quando status è infinite, free_variables conta quante variabili non hanno pivot; il vettore soluzione particolare è omesso perché esistono molte parametrizzazioni valide.
Dove un risolutore di matrice aumentata crea valore
Le piattaforme di tutoraggio e i plugin LMS possono inviare in POST le matrici degli allievi e valutare le soluzioni uniche rispetto all’array ordinato, trattando infinite e none come classificazioni corrette distinte e non come elenchi vuoti silenziosi. Poiché l’implementazione è parse di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita.
Domande tecniche
Cosa significa status infinite?
Il sistema ridotto è consistente ma il rango è minore del numero di variabili, quindi restano variabili libere e infinite soluzioni. free_variables le conta; non viene restituito un singolo vettore soluzione.
Quando viene restituito status none?
Quando la RREF contiene una riga di zeri nelle colonne dei coefficienti e un termine noto non nullo—il classico schema inconsistente [0 … 0 | c]. Non c’è soluzione.
Quanto costa il risolutore di matrice aumentata?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l’input non valido non viene fatturato.