Cubica depressa

Una cubica depressa è una cubica monica che ha già perso il termine quadratico, scritta come t al cubo più p t più q uguale a zero. Gli studenti che incontrano il casus irreducibilis, i tutor che costruiscono dimostrazioni del risolvente passo passo e gli autori di notebook che hanno già depresso un polinomio a mano hanno bisogno delle tre radici—reali o complesse—senza riaprire una suite simbolica completa.

Che cos’è una cubica depressa e come funziona il risolvente di Cardano

Si parta dalla cubica monica x al cubo più A x al quadrato più B x più C uguale a zero. La sostituzione x uguale a t meno A su tre annulla il termine quadratico e produce la forma depressa t al cubo più p t più q uguale a zero, dove p e q sono polinomi espliciti in A, B e C.

Il metodo di Cardano non indovina le radici: introduce numeri ausiliari u e v tali che t uguale a u più v e tre u v uguale a meno p, il che forza u al cubo e v al cubo a essere i due valori meno q su due più o meno la radice quadrata del discriminante Delta uguale a (q su due) al quadrato più (p su tre) al cubo.

Quando Delta è positivo c’è una radice reale e una coppia coniugata complessa; quando Delta è zero ci sono radici reali multiple; quando Delta è negativo—il casus irreducibilis—tutte e tre le radici sono reali e le radici cubiche classiche diventano complesse anche se le risposte sono reali, perciò questo risolutore passa alla forma trigonometrica equivalente con due volte la radice quadrata di meno p su tre per il coseno di un’espressione arccos su tre.

Le tre radici esistono sempre nel piano complesso: t zero è u più v, e le altre due accoppiano u e v con le radici cubiche non reali dell’unità omega e omega al quadrato.

Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori

L’oggetto resolvent espone u, v e delta così i client possono mostrare le radici cubiche intermedie di Cardano senza ricalcolarle. I campi method e formula ribadiscono che l’algoritmo è Cardano con l’identità classica del discriminante. Esempio: p uguale a meno tre e q uguale a due produce Delta zero, radici reali multiple in due, meno uno e meno uno, coerenti con la fattorizzazione (t meno uno) al quadrato per (t più due).

Un altro controllo comune è p uguale a zero e q uguale a meno otto, che recupera la radice cubica reale due e le due radici cubiche complesse di otto.

Dove serve risolvere una cubica depressa

I corsi di algebra che insegnano Cardano dopo aver completato il quadrato per le cubiche necessitano di un oracolo deterministico che assume già la forma depressa, così gli studenti si concentrano sul risolvente e sui casi del discriminante invece che sullo scorrimento di depressione. I generatori di esami e i plugin LMS valutano compiti su t al cubo più p t più q senza accettare una cubica generale a quattro coefficienti come sostituto, perché l’obiettivo didattico è il caso depresso stesso.

I notebook di algebra computazionale spesso deprimono una cubica a mano o con uno script breve, poi vogliono esercitare solo il ramo Cardano con radici complesse in un ordine fisso per test di snapshot. I siti di contenuti che si posizionano su risolutore di cubica depressa ottengono uno strumento gratuito nel browser il cui modulo puro coincide byte per byte con il percorso di automazione a pagamento, catturando un intento di ricerca che una landing di equazione cubica generale non copre del tutto. La validazione fallita non consuma il saldo.

Si mantengano le richieste piccole, si fissino nei test le radici e il risolvente ripuliti, e si ottengono radici Cardano riproducibili per didattica, valutazione e edge worker senza montare una pila di matematica simbolica completa propria.