Depressierte Kubik

Eine depressierte Kubik ist eine monische Kubik, der der quadratische Term bereits fehlt, geschrieben als t hoch drei plus p t plus q gleich null. Lernende im casus irreducibilis, Tutoren mit schrittweisen Resolventen-Demos und Notebook-Autoren, die ein Polynom bereits von Hand depressiert haben, brauchen die drei Wurzeln—reell oder komplex—ohne eine volle symbolische Suite erneut zu öffnen.

Wie Cardano die reduzierte Gleichung löst

Cardano rät keine Wurzeln, sondern zerlegt die Unbekannte in zwei Hilfszahlen u und v, sodass t gleich u + v ist und 3uv gleich −p gilt. Daraus folgt, dass u³ und v³ die beiden Werte −q/2 plus oder minus der Wurzel aus der Diskriminante sind; diese Diskriminante ist (q/2)² + (p/3)³. Ist sie positiv, gibt es eine reelle Wurzel und ein konjugiert komplexes Paar; ist sie null, mehrfache reelle Wurzeln; ist sie negativ, drei verschiedene reelle Wurzeln. Die beiden übrigen Wurzeln entstehen, indem man u und v mit den komplexen dritten Einheitswurzeln kombiniert. Der Rechner zeigt u, v und die Diskriminante, damit Sie jeden Zwischenschritt nachvollziehen können.

Wofür Sie den Löser nutzen und worauf Sie achten

Der Löser passt, wenn Ihre Gleichung bereits kein quadratisches Glied mehr hat, etwa im Unterricht zu Cardano, bei Prüfungsaufgaben zu den Fällen der Diskriminante oder bei Modellen in verschobenen Koordinaten. Ein typischer Fehler ist, eine allgemeine kubische Gleichung direkt einzugeben, ohne sie vorher zu reduzieren: Dann stimmen p und q nicht. Prüfen Sie außerdem die Vorzeichen, denn bei t³ − 3t + 2 ist p gleich −3 und q gleich 2. Für die allgemeine Form nutzen Sie den Löser für kubische Gleichungen.

Was eine depressierte Kubik ist und wie der Cardano-Resolvent funktioniert

Beginnen Sie mit der monischen Kubik x hoch drei plus A x im Quadrat plus B x plus C gleich null. Die Substitution x gleich t minus A über drei streicht den quadratischen Term und liefert die depressierte Form t hoch drei plus p t plus q gleich null, wobei p und q explizite Polynome in A, B und C sind.

Cardanos Methode rät keine Wurzeln: Sie führt Hilfszahlen u und v ein, sodass t gleich u plus v und drei u v gleich minus p gilt, was erzwingt, dass u hoch drei und v hoch drei die beiden Werte minus q über zwei plus oder minus der Quadratwurzel der Diskriminante Delta gleich (q über zwei) im Quadrat plus (p über drei) hoch drei sind.

Bei positivem Delta gibt es eine reelle Wurzel und ein komplex konjugiertes Paar; bei Delta null mehrere reelle Wurzeln; bei negativem Delta—dem casus irreducibilis—sind alle drei Wurzeln reell und die klassischen Kubikwurzeln werden komplex, obwohl die Antworten reell sind, weshalb dieser Löser zur äquivalenten trigonometrischen Form wechselt mit dem Doppelten der Quadratwurzel von minus p über drei mal dem Kosinus eines Drittel-arccos-Ausdrucks.

Die drei Wurzeln existieren stets in der komplexen Ebene: t null ist u plus v, und die anderen beiden koppeln u und v mit den nicht reellen Einheitskubikwurzeln omega und omega im Quadrat.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Die Felder method und formula bekräftigen, dass der Algorithmus Cardano mit der klassischen Diskriminanten-Identität ist. Beispiel: p gleich minus drei und q gleich zwei liefert Delta null, mehrfache reelle Wurzeln bei zwei, minus eins und minus eins, passend zur Faktorisierung (t minus eins) im Quadrat mal (t plus zwei). Ein weiterer üblicher Check ist p gleich null und q gleich minus acht, der die reelle Kubikwurzel zwei und die beiden komplexen Kubikwurzeln von acht liefert.

Kombinieren Sie die Antwort mit eigener Plot- oder Schrittprosa, wenn Sie Graphen brauchen; dieser Endpunkt löst nur nach t und liefert weder Plots noch mehrseitige Lektionen jenseits der Felder formula und resolvent.

Wo sich das Lösen reduzierter kubischer Gleichungen lohnt

Algebra-Kurse, die Cardano nach dem Vervollständigen des Quadrats bei Kubiken lehren, brauchen ein deterministisches Orakel, das die depressierte Form bereits voraussetzt, damit Lernende sich auf Resolvent und Diskriminantenfälle statt auf die Depressionsverschiebung konzentrieren. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins bewerten Hausaufgaben zu t hoch drei plus p t plus q, ohne eine allgemeine Vier-Koeffizienten-Kubik als Ersatz zu akzeptieren, weil das Lernziel der depressierte Fall selbst ist. Computeralgebra-Notebooks depressieren oft eine Kubik von Hand oder mit kurzem Skript und wollen dann nur den Cardano-Zweig mit komplexen Wurzeln in fester Reihenfolge für Snapshot-Tests.

Content-Seiten, die für depressierte-Kubik-Löser ranken, gewinnen ein kostenloses Browser-Tool, dessen reines Modul bytegenau dem bezahlten Automatisierungspfad entspricht und Suchintention abdeckt, die eine allgemeine Kubik-Landing nicht vollständig besitzt. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie bereinigte Wurzeln und Resolvent in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Cardano-Wurzeln für Lehre, Bewertung und Edge-Worker, ohne einen eigenen vollen symbolischen Mathematik-Stack aufzubauen.