ForHosting KIT · Mathematik

Schnitt Gerade–Parabel

Die Gerade y = x + 2 schneidet die Parabel y = x^2 in (-1, 1) und (2, 4): Der Rechner setzt beide gleich, löst die quadratische Gleichung und liest die Diskriminante, hier 9, um Sekante, Tangente oder keinen Schnittpunkt zu erkennen. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 1
B: 0
C: 0
M: 1
K: 2

Erhalten Sie

Parabel: y=1x^2+0x+0
Gerade: y=1x+2
Gleichung: 1x^2-1x-2=0
A: 1

Zu finden, wo eine Gerade eine Parabel trifft, ist eine zentrale Algebra-Fertigkeit: setzen Sie die Ausdrücke gleich, reduzieren Sie auf eine Quadratische und lesen Sie die Diskriminante. Lernende brauchen beide geordneten Paare, wenn die Gerade Sekante ist, den einzigen Berührpunkt bei einfacher Tangente und ein klares leeres Ergebnis, wenn sich die Graphen in der reellen Ebene verfehlen. Dieser Schnittpunkt-Rechner für Gerade und Parabel nimmt die fünf endlichen Koeffizienten von y gleich a x zum Quadrat plus b x plus c und von y gleich m x plus k entgegen, setzt die Gerade in die Parabel ein, löst A x zum Quadrat plus B x plus C gleich null mit A gleich a, B gleich b minus m und C gleich c minus k und liefert die reellen Punkte mit y aus der Geraden.

Wie man Gerade und Parabel schneidet

Eine Parabel der Form y = ax^2 + bx + c und eine Gerade y = mx + k schneiden sich dort, wo beide für dasselbe x denselben y-Wert liefern. Setzt man beide gleich und bringt alles auf eine Seite, entsteht eine quadratische Gleichung mit den Koeffizienten a, b minus m und c minus k. Deren Diskriminante entscheidet über die Lage: Ist sie positiv, schneidet die Gerade die Parabel in zwei Punkten, ist sie null, berührt sie sie in genau einem Punkt, ist sie negativ, gibt es keinen reellen Schnittpunkt. Für die Parabel y = x^2 und die Gerade y = x + 2 beträgt die Diskriminante 9, die Schnittpunkte sind (-1, 1) und (2, 4).

Wann Sie den Rechner nutzen und typische Fehler

Der Rechner hilft beim Kontrollieren von Hausaufgaben, beim Vorbereiten von Übungsblättern und beim Prüfen eines Graphen, bevor Sie ihn zeichnen. Ein häufiger Fehler ist, beim Gleichsetzen ein Vorzeichen zu verlieren, etwa wenn b minus m falsch gebildet wird. Ein anderer ist, den y-Wert aus der falschen Gleichung zu berechnen; der Rechner bestimmt ihn stets aus der Geraden. Ist a null, ist die Kurve keine Parabel mehr, und die Aufgabe wird abgelehnt. Ohne reellen Schnittpunkt bleibt die Liste leer, ein Fehler ist das nicht.

Substitution: von zwei Graphen zu einer Quadratischen

Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel der Form y gleich a x zum Quadrat plus b x plus c und eine nicht senkrechte Gerade der Form y gleich m x plus k schneiden sich dort, wo beide Ausdrücke dasselbe y für dasselbe x liefern. Gleichsetzen ergibt a x zum Quadrat plus b x plus c gleich m x plus k.

Alle Terme auf eine Seite bringen liefert die allgemeine Quadratische A x zum Quadrat plus B x plus C gleich null, deren drei Koeffizienten ohne Iteration entstehen: A ist einfach a, B ist b minus m und C ist c minus k. Die Diskriminante Delta gleich B zum Quadrat minus vier A C entscheidet dann die Geometrie.

Ist Delta positiv, ist die Gerade Sekante und es erscheinen zwei verschiedene reelle x-Werte aus der quadratischen Formel; jedes x wird mit y gleich m x plus k gepaart, sodass die Antwort zwei kartesische Punkte, geordnet nach aufsteigendem x, sind. Ist Delta genau null, ist die Gerade Tangente und die doppelte Wurzel fällt zu einem einzigen Berührpunkt zusammen.

Ist Delta negativ, gibt es keine reelle Schnittmenge: die zurückgegebene Lösungsanzahl ist null und das Array points ist leer, was der Unterrichtssprache entspricht, dass das System keine reelle Lösung hat, ohne dieses Ergebnis als harten Eingabefehler zu werten. Der Koeffizient a muss ungleich null sein, weil a gleich null die erste Gleichung in eine weitere Gerade verwandeln und das Problem kein nichtlineares Gerade-Parabel-System mehr wäre. Dieser Endpunkt löst nur die reelle Ebene; komplexe Wurzeln werden nicht ausgegeben.

Nutzen Sie die Echo-Zeichenkette der Parabel, die der Geraden, die reduzierte Gleichung und das Feld formula, um die algebraischen Schritte neben den numerischen Punkten auf einem Arbeitsblatt oder im Feedback-Panel eines LMS zu zeigen.

Klassenzimmer und Tutorplattformen nutzen einen Schnittpunkt-Rechner für Gerade und Parabel, damit Lernende geordnete Paare für beliebige Koeffizienten prüfen können, ohne Vorzeichenfehler beim manuellen Ausmultiplizieren von b minus m oder c minus k. Prüfungs-Generatoren brauchen ein deterministisches Orakel, das null, eins oder zwei Punkte aus der Diskriminante liefert, statt still ein komplexes Paar zu erfinden oder einen leeren Erfolg als Netzwerkfehler zu werten. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgerechnet.

Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten Punkte in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Schnittpunkte für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Infrastruktur aufzubauen.

Anwendungsfälle

Klassen- und Hausaufgabenkontrollen

Lassen Sie Lernende Parabelkoeffizienten a, b, c und Geraden m, k einreichen und null, einen oder zwei geordnete Schnittpunkte gegen die Substitution im Lehrbuch prüfen.

Notizbücher und einfache Kurve–Ziel-Modelle

Lösen Sie y=ax²+bx+c gegen y=mx+k in Skripten für Projektile, Kostenkurven oder Designprüfungen, ohne ein volles CAS zu importieren.

Häufige Fragen

Wie finde ich, wo eine Gerade eine Parabel trifft?

Senden Sie endliches a (ungleich null), b, c für y=ax²+bx+c und m, k für y=mx+k.

Was bedeutet eine Lösungsanzahl von null, eins oder zwei?

Diskriminante positiv → zwei Sekantenpunkte; null → ein Berührpunkt; negativ → keine reelle Schnittmenge (leeres points-Array, kein Fehler).

Warum muss a ungleich null sein?

Ist a null, ist y=ax²+bx+c eine Gerade, keine Parabel. Der Löser verlangt a≠0, damit das System ein echtes Gerade–Parabel-Problem bleibt.

Wie findet man den Schnittpunkt von Gerade und Parabel?

Setzen Sie beide Ausdrücke für y gleich, bringen Sie alles auf eine Seite und lösen Sie die quadratische Gleichung. Den y-Wert jedes Punktes liefert dann die Geradengleichung.

Was passiert, wenn die Gerade die Parabel nur berührt?

Dann ist die Gerade eine Tangente: Die Diskriminante ist null, und es gibt genau einen Berührpunkt. Für die Parabel y = x^2 und die Gerade 2x − 1 ist das der Punkt (1, 1).

Liefert der Rechner komplexe Schnittpunkte?

Nein, er arbeitet nur in der reellen Ebene. Ist die Diskriminante negativ, treffen sich die Graphen nicht; die Anzahl der Lösungen ist null und die Liste bleibt leer, was ein gültiges Ergebnis und kein Fehler ist.

Warum darf a nicht null sein?

Mit a gleich null wäre die erste Gleichung keine Parabel mehr, sondern eine weitere Gerade. Dann handelt es sich nicht mehr um ein System aus Gerade und Parabel, und die Aufgabe wird abgelehnt.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": 0,
    "c": 0,
    "m": 1,
    "k": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": 0,
    "c": 0,
    "m": 1,
    "k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 1,
  "b": 0,
  "c": 0,
  "m": 1,
  "k": 2
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.system_nonlinear_line_parabola",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Wenn a null ist, ist die Kurve keine Parabel und die Aufgabe scheitert mit invalid_input.

Eingabevertrag, Antwortform und Grenzfälle

Beispiel: a gleich eins, b gleich null, c gleich null, m gleich eins, k gleich zwei beschreibt y gleich x zum Quadrat und y gleich x plus zwei. Die Substitution ergibt x zum Quadrat minus x minus zwei gleich null, Wurzeln x gleich minus eins und x gleich zwei sowie Punkte minus eins Komma eins und zwei Komma vier. Ein Tangentenbeispiel ist y gleich x zum Quadrat mit y gleich zwei x minus eins: Diskriminante null und der einzige Punkt eins Komma eins. Kombinieren Sie die numerische Antwort mit Ihrem eigenen Plotter, falls Sie eine Skizze brauchen; diese Fähigkeit liefert nur Koordinaten und Algebra. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit fünf erforderlichen endlichen Zahlen: a, dem nichtnullen quadratischen Koeffizienten der Parabel; b und c, den übrigen Parabelkoeffizienten; m, der Steigung der Geraden; und k, dem y-Achsenabschnitt der Geraden. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette ankommen. Der Alias slope wird für m akzeptiert, intercept oder y_intercept für k, sodass Clients, die bereits Steigungs-Achsenabschnitts-Sprache sprechen, keine Umbenennungsschicht brauchen. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtendliche Werte und a gleich null scheitern mit invalid_input und benennen das Problem; diese Fehlschläge werden nicht abgerechnet. Bei Erfolg spiegelt der Körper a, b, c, m und k auf zwölf Dezimalstellen gerundet für stabile Goldens; Anzeigezeichenketten von Parabel und Gerade; die reduzierte Gleichung; die Zwischenwerte A, B und C; die Diskriminante; solution_count in null, eins oder zwei; points als Array von Objekten mit x und y; method auf substitution gesetzt; und eine kurze Formel, die die Pipeline neu formuliert. Ein Verfehlen ist y gleich x zum Quadrat mit y gleich minus eins: Diskriminante negativ und solution_count null.

Wo eine API für Gerade–Parabel-Schnittpunkte Nutzen stiftet

Ingenieursnotizbücher reduzieren oft Projektilhöhe gegen eine Zielgerade, Seildurchhang-Näherungen oder einfache Kosten–Erlös-Kurven auf y gleich a x zum Quadrat plus b x plus c gegen y gleich m x plus k; ein kleiner parse-API-Aufruf erspart ein volles Computer-Algebra-System für ein Fünf-Koeffizienten-Problem. Weil die Implementierung reines parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.

Integrationsbeispiele

Automatische Prüfungs- und LMS-Bewertung

Bewerten Sie nichtlineare Systemaufgaben mit einem deterministischen Orakel, das leere Schnitte als solution_count null wertet und nie zusätzliche reelle Wurzeln erfindet.

Technische Fragen