Interseção reta e parábola
A reta y = x + 2 encontra a parábola y = x^2 em (-1, 1) e (2, 4): a calculadora iguala as duas, resolve a equação do segundo grau e lê o discriminante, aqui 9, para distinguir secante, tangente ou nenhum ponto comum. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- 0
- C
- 0
- M
- 1
- K
- 2
- Parábola
- y=1x^2+0x+0
- Reta
- y=1x+2
- Equação
- 1x^2-1x-2=0
- A
- 1
Encontrar onde uma reta encontra uma parábola é uma habilidade central da álgebra: iguale as expressões, reduza a uma quadrática e leia o discriminante. Alunos precisam dos dois pares ordenados quando a reta é secante, do único ponto de tangência quando toca uma vez, e de um resultado vazio claro quando os gráficos não se encontram no plano real. Esta calculadora de interseção reta e parábola aceita os cinco coeficientes finitos de y igual a a x ao quadrado mais b x mais c e de y igual a m x mais k, substitui a reta na parábola, resolve A x ao quadrado mais B x mais C igual a zero com A igual a a, B igual a b menos m e C igual a c menos k, e devolve os pontos reais com y recuperado da reta.
Substituição: de dois gráficos a uma quadrática
Uma parábola de abertura vertical escrita como y igual a a x ao quadrado mais b x mais c e uma reta não vertical escrita como y igual a m x mais k se intersectam onde ambas as expressões dão o mesmo y para o mesmo x. Igualá-las produz a x ao quadrado mais b x mais c igual a m x mais k.
Passando todos os termos para um lado obtém-se a quadrática geral A x ao quadrado mais B x mais C igual a zero, cujos três coeficientes se montam sem iteração: A é simplesmente a, B é b menos m e C é c menos k. O discriminante Delta igual a B ao quadrado menos quatro A C decide então a geometria.
Se Delta for positivo a reta é secante e aparecem dois valores reais distintos de x pela fórmula quadrática; cada x se associa a y igual a m x mais k, de modo que a resposta são dois pontos cartesianos ordenados por x crescente. Se Delta for exatamente zero a reta é tangente e a raiz dupla colapsa em um único ponto de contato.
Se Delta for negativo não há interseção real: a contagem de soluções devolvida é zero e o array points fica vazio, o que coincide com a linguagem da sala de aula de que o sistema não tem solução real sem tratar esse desfecho como erro duro de entrada. O coeficiente a deve ser não nulo porque a igual a zero transformaria a primeira equação em outra reta e o problema deixaria de ser um sistema não linear reta-parábola.
Use a string eco da parábola, a da reta, a equação reduzida e o campo formula para mostrar os passos algébricos ao lado dos pontos numéricos em uma ficha ou no painel de feedback de um LMS.
Onde a interseção de reta e parábola ajuda
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de interseção reta e parábola para que alunos verifiquem pares ordenados com coeficientes arbitrários sem erros de sinal ao expandir à mão b menos m ou c menos k. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que devolva zero, um ou dois pontos a partir do discriminante em vez de inventar um par complexo ou tratar um sucesso vazio como falha de rede. Validação falha não consome saldo.
Mantenha as requisições pequenas, fixe os pontos arredondados nos testes e obtenha interseções reproduzíveis para lições, plugins LMS e workers de borda sem montar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Checagens de sala de aula e lição de casa
Permita que alunos enviem coeficientes da parábola a, b, c e da reta m, k, e verifiquem zero, um ou dois pontos de interseção ordenados frente à substituição do livro.
Cadernos e modelos simples curva–alvo
Resolva y=ax²+bx+c contra y=mx+k em scripts de projéteis, curvas de custo ou checagens de projeto sem importar um CAS completo.
Perguntas frequentes
Como encontrar onde uma reta encontra uma parábola?
Envie a finito (não nulo), b, c para y=ax²+bx+c e m, k para y=mx+k.
O que significa contagem de soluções zero, um ou dois?
Discriminante positivo → dois pontos secantes; zero → um ponto de tangência; negativo → sem interseção real (array points vazio, não é erro).
Por que a deve ser não nulo?
Se a for zero, y=ax²+bx+c é uma reta, não uma parábola. O solucionador exige a≠0 para que o sistema continue um problema genuíno reta–parábola.
E se a reta só tocar a parábola?
Então a reta é tangente: o discriminante é zero e existe um único ponto de contato. Para a parábola y = x^2 e a reta 2x − 1, esse ponto é (1, 1).
A calculadora mostra interseções complexas?
Não, ela trabalha só no plano real. Quando o discriminante é negativo os gráficos não se encontram, o número de soluções é zero e a lista de pontos fica vazia, o que é um resultado válido e não um erro.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0,
"m": 1,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0,
"m": 1,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0,
"m": 1,
"k": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_nonlinear_line_parabola",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando a é zero a curva não é uma parábola e a tarefa falha com invalid_input.
Substituição: de dois gráficos a uma quadrática
Este endpoint resolve apenas o plano real; raízes complexas não são emitidas.
Contrato de entrada, formato da resposta e casos-limite
Exemplo: a igual a um, b igual a zero, c igual a zero, m igual a um, k igual a dois descreve y igual a x ao quadrado e y igual a x mais dois. A substituição dá x ao quadrado menos x menos dois igual a zero, raízes x igual a menos um e x igual a dois, e pontos menos um vírgula um e dois vírgula quatro. Um exemplo de tangência é y igual a x ao quadrado com y igual a dois x menos um: discriminante zero e o único ponto um vírgula um. Combine a resposta numérica com o seu próprio plotador se precisar de um esboço; esta capacidade devolve apenas coordenadas e álgebra. Envie por POST um corpo JSON com cinco números finitos obrigatórios: a, o coeficiente quadrático não nulo da parábola; b e c, os demais coeficientes da parábola; m, a inclinação da reta; e k, o intercepto y da reta. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica. O alias slope é aceito para m, e intercept ou y_intercept para k, de modo que clientes que já falam em inclinação-intercepto não precisam de uma camada de renomeação. Campos ausentes, strings vazias, valores não finitos e a igual a zero falham com invalid_input nomeando o problema; essas falhas não são cobradas. Em sucesso o corpo ecoa a, b, c, m e k arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis; strings de exibição da parábola e da reta; a equação reduzida; os intermediários A, B e C; o discriminante; solution_count em zero, um ou dois; points como array de objetos com x e y; method definido como substitution; e uma fórmula breve que reafirma o pipeline. Um erro é y igual a x ao quadrado com y igual a menos um: discriminante negativo e solution_count zero.
Onde uma API de interseção reta–parábola vale a pena
Cadernos de engenharia frequentemente reduzem a altura de um projétil frente a uma reta-alvo, aproximações de flecha de cabo ou curvas simples de custo–receita a y igual a a x ao quadrado mais b x mais c contra y igual a m x mais k; chamar uma pequena API parse evita puxar um sistema de álgebra computacional completo por um problema de cinco coeficientes. Como a implementação é parse pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Casos de integração
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de sistemas não lineares com um oráculo determinístico que marca interseções vazias como solution_count zero e nunca inventa raízes reais a mais.
Perguntas técnicas
A calculadora devolve interseções complexas?
Não. Apenas pontos reais são devolvidos. Um discriminante negativo produz solution_count 0 e uma lista points vazia.
Quanto custa a calculadora de interseção reta e parábola?
A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.