Interseção círculo-reta: 0, 1 ou 2 pontos com centro, raio e reta
Descubra onde uma reta atravessa um círculo: um círculo de raio 5 na origem e a reta que passa por (−10, 0) e (10, 0) se cruzam em (−5, 0) e (5, 0). A ferramenta diz se a reta corta, toca ou passa longe. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Cx
- 0
- Cy
- 0
- Resistência (Ω)
- 5
- X1
- -10
- Y1
- 0
- X2
- 10
- Quantidade
- 2
- Discriminante
- 40.000
Um círculo e uma reta no plano podem se encontrar em dois pontos (secante), tocar-se em exatamente um ponto (tangente) ou não se cruzar. A geometria analítica clássica reduz a questão a uma equação quadrática: parametrize a reta por dois pontos, substitua na equação do círculo e leia o discriminante. Estudantes conferindo lição de casa, desenvolvedores de jogos posicionando contatos de colisão, assistentes CAD verificando restrições de esboço, auxiliares de topografia recuperando cortes de linha de visada e solucionadores de olimpíadas precisam dessas coordenadas de contato como números estáveis para testes—não só um desenho. Esta capacidade aceita sete números—cx, cy, r do círculo e x1, y1, x2, y2 de dois pontos distintos da reta infinita—, valida que todo campo seja finito e o raio positivo, e resolve a quadrática.
O que significa a interseção círculo-reta e por que as pessoas buscam
Na geometria euclidiana do plano, um círculo de centro C e raio r é o conjunto de pontos à distância fixa r de C. Uma reta infinita por dois pontos distintos A e B é o conjunto de pontos A mais um múltiplo real do vetor direção B menos A. A interseção é o conjunto de pontos que satisfazem as duas descrições ao mesmo tempo.
Substituindo a reta paramétrica na equação do círculo obtém-se uma quadrática no parâmetro t cujo discriminante decide o caso: positivo para duas raízes reais distintas (secante), zero para raiz repetida (tangente) e negativo para nenhuma raiz real (não há encontro). A intenção de busca se agrupa em frases como interseção círculo reta, achar interseção de círculo e reta, tangente a um círculo a partir de uma reta e calculadora de pontos de secante com coordenadas.
Entregar um array de pontos ordenado facilita o diff em integração contínua, alimenta um pipeline maior ou se copia em anotações. Diferente de ajudas círculo-círculo ou só de segmento, esta página foca apenas em uma reta infinita contra um único círculo e informa quando a geometria não se encontra.
Uso prático, limites, preços e canais de entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser uma checagem imediata de contato ao corrigir lição, posicionar um marcador de colisão ou verificar um esboço sem instalar um sistema de álgebra computacional. As coordenadas podem ser quaisquer números finitos dentro de um grande bound absoluto adequado a figuras CAD e de sala ordinárias; as coordenadas da resposta compartilham o mesmo sistema de unidades que você já usa.
A reta é tratada como infinita: os pontos de interseção podem ficar fora do segmento entre os dois pontos definidores, que é o modelo clássico correto para exercícios de geometria analítica e muitas consultas tipo raio que se estendem além de um segundo ponto de amostra. Os resultados são plenamente determinísticos: os mesmos sete números sempre produzem os mesmos pontos e campos de discriminante.
Não há modelo de linguagem, nem serviço geométrico externo, nem aleatoriedade, então a capacidade é segura para fixar em checagens de integração contínua e materiais de aula reproduzíveis. Se precisar de interseção círculo-círculo, recorte de segmentos ou solucionadores de triângulos, use essas páginas dedicadas quando existirem—esta capacidade foca apenas em círculo versus reta infinita.
Casos de uso
Exercícios de círculo-reta em lição e provas
Estudantes e corretores confirmam pontos de tangente ou secante com centro, raio e dois pontos da reta, com erro claro quando a reta não encontra o círculo.
Perguntas frequentes
Qual fórmula a calculadora usa?
Parametriza a reta pelos dois pontos, substitui em (x−cx)²+(y−cy)²=r² e resolve a quadrática com o discriminante.
A calculadora de interseção círculo-reta é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
A ferramenta usa o segmento finito entre os dois pontos?
Não. Os dois pontos só definem a reta infinita. Os pontos de interseção podem ficar fora do segmento; isso corresponde à geometria analítica clássica.
Como sei se uma reta é tangente a um círculo?
Quando a reta só encosta no círculo, a equação do segundo grau por trás do cálculo tem uma única raiz repetida. A calculadora então devolve um ponto só e o marca como tangente, em vez de dois cortes.
O que acontece se a reta não encontra o círculo?
Nesse caso não há pontos reais de encontro, porque o discriminante é negativo. A calculadora avisa que a reta e o círculo não se tocam, em vez de inventar coordenadas.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-line-intersection \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":0,"cy":0,"r":5,"x1":-10,"y1":0,"x2":10,"y2":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-line-intersection", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 0,
"cy": 0,
"r": 5,
"x1": -10,
"y1": 0,
"x2": 10,
"y2": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-line-intersection",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 0,
"cy": 0,
"r": 5,
"x1": -10,
"y1": 0,
"x2": 10,
"y2": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-line-intersection", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":0,"cy":0,"r":5,"x1":-10,"y1":0,"x2":10,"y2":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":0,"cy":0,"r":5,"x1":-10,"y1":0,"x2":10,"y2":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-line-intersection", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"cx": 0,
"cy": 0,
"r": 5,
"x1": -10,
"y1": 0,
"x2": 10,
"y2": 0
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.circle_line_intersection",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando o discriminante é não negativo, devolve um ou dois pontos em um payload JSON estruturado; quando a reta não encontra o círculo, ou a entrada é incompleta ou degenerada, falha de imediato com invalid_input para que a validação falha nunca seja cobrada.
Como esta calculadora valida a entrada e resolve o discriminante
O raio deve ser estritamente positivo. Os dois pontos da reta devem ser distintos: uma direção de comprimento zero não define uma reta infinita única e é rejeitada antes de qualquer raiz. Após o parse, o algoritmo forma a direção D igual a (x2 menos x1, y2 menos y1) e o deslocamento F igual a (x1 menos cx, y1 menos cy), depois constrói os coeficientes quadráticos a igual a D·D, b igual a duas vezes F·D e c igual a F·F menos r ao quadrado. O discriminante delta é b ao quadrado menos quatro a c. Se delta for negativo além de um pequeno épsilon numérico, a requisição falha com mensagem clara de não interseção porque a reta não encontra o círculo. Se delta for essencialmente zero, um ponto de tangência é devolvido com tangent true. Envie um corpo JSON com os sete campos obrigatórios cx, cy, r, x1, y1, x2 e y2. Cada campo deve ser um número finito (números JSON ou strings numéricas são aceitos). O motor rejeita campos ausentes, strings vazias, NaN e infinitos com invalid_input para que essas chamadas falhas não sejam cobradas. Os resultados são arredondados a uma precisão decimal estável para que a mesma geometria sempre produza o mesmo JSON entre motores JavaScript. A resposta ecoa as sete entradas, devolve count, tangent, discriminant e points, e define method como quadratic_discriminant para que os chamadores possam afirmar o algoritmo em testes. Não há inversão de matriz nem serviço geométrico externo—apenas aritmética em um Worker.
Uso prático, limites, preços e canais de entrega
Use a API quando um script, plataforma de aulas, editor de jogos, ferramenta de malha ou notebook precisar de JSON estável para muitos pares círculo-reta sob um único contrato. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; a validação falha—incluindo discriminante negativo sem ponto real de encontro—não consome saldo. Conecte o endpoint a verificadores de olimpíada, ajudas de colisão de sprites, demos de restrições CAD ou etapas de pré-processamento em que você já prefira uma quadrática explícita a widgets opacos que não expliquem por que um raio ausente é rejeitado.
Casos de integração
Fixtures determinísticos para testes de geometria e colisão
Pipelines que semeiam testes unitários ou demos de esboço interativo podem chamar um oráculo puro de interseção em vez de reimplementar a quadrática em cada linguagem.
Âncoras de contato em CAD, topografia e jogos
Ferramentas que posicionam marcadores, rótulos ou origens de colisão onde uma linha de construção encontra um arco circular recuperam os pontos como JSON estruturado para importação.
Perguntas técnicas
Como acho os pontos de interseção círculo-reta com esta API?
Envie um corpo JSON com cx, cy, r, x1, y1, x2 e y2 para geom.circle_line_intersection. A resposta devolve um ou dois pontos quando a reta encontra o círculo.
O que acontece se a reta não intersecta o círculo?
A requisição falha com invalid_input porque o discriminante é negativo (sem interseção real). Essas falhas de validação não são cobradas.