Parábola a partir do foco e diretriz

Quando o foco está sobre a diretriz a distância é zero e não existe parábola finita, de modo que a tarefa falha com invalid_input em vez de inventar uma curva degenerada.

Definição, expansão da equação e quando a construção falha

Por definição um ponto P igual a (x, y) pertence à parábola com foco F igual a (focus_x, focus_y) e diretriz ax mais by mais c igual a zero quando a distância euclidiana de P a F coincide com a distância perpendicular de P à reta. Se o valor absoluto de a vezes focus_x mais b vezes focus_y mais c for zero, o foco está sobre a diretriz, a distância focal colapsa e a capacidade devolve invalid_input com mensagem clara em vez de uma equação vazia. Esses dois modos de falha batem com a linguagem dos livros e evitam que clientes API tratem uma impossibilidade geométrica como sucesso faturado.

Contrato de entrada, campos de resposta e exemplos resolvidos

Campos numéricos são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes. Verificação clássica: foco em (0, 1) e diretriz y igual a menos um, codificada como a igual a zero, b igual a um, c igual a um, produz a parábola x ao quadrado menos quatro y igual a zero (equivalente a y igual a x ao quadrado sobre quatro), vértice na origem e distância focal um. Combine os coeficientes com seu próprio plotter se precisar de um esboço; a capacidade devolve apenas resumos algébricos e geométricos. Envie por POST um corpo JSON com cinco números finitos obrigatórios: focus_x e focus_y para o foco, e a, b, c para a diretriz escrita como ax mais by mais c igual a zero. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Alias como fx, fy e coeff_a são aceitos para que analisadores de lição de casa e cadernos reutilizem nomes de chave já existentes. Em caso de sucesso o corpo ecoa o foco e os coeficientes da reta, fornece directrix_equation e equation como strings de exibição, lista os seis coeficientes da cônica geral coeff_xx até coeff_const, e devolve vertex_x, vertex_y, focal_length, focus_to_directrix_distance e um axis_direction unitário do vértice em direção ao foco. Outro caso útil é uma diretriz inclinada: quaisquer a, b não ambos nulos com o foco fora da reta geram um termo xy não nulo, que este endpoint mantém em vez de forçar rotação para forma alinhada aos eixos.

Onde uma API de parábola foco–diretriz agrega valor

Cursos de geometria analítica apresentam parábolas via foco e diretriz antes das formas padrão, de modo que alunos costumam ter F e a reta primeiro e precisam da equação depois. Mantenha as solicitações pequenas, fixe nos testes os coeficientes e o vértice arredondados, e você obtém equações de parábola reproduzíveis para lições de casa, plugins LMS e edge workers sem montar infraestrutura simbólica própria. Plataformas de tutoria e geradores de prova podem chamar este endpoint como oráculo determinístico que rejeita o caso do foco sobre a reta em vez de devolver em silêncio uma matriz singular de uma expansão caseira. Notas de engenharia e ótica modelam espelhos parabólicos e antenas a partir de um foco e uma reta base prescritos; uma API de parse pequena evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por cinco coeficientes.