Comprimento de arco de parábola
A curva y = x² mede 4,646783762433 unidades de 0 a 2 no eixo x. Informe o coeficiente e os dois limites e obtenha o comprimento exato do arco de uma abóbada parabólica, um espelho ou um exercício. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- X1
- 0
- X2
- 2
- Comprimento do arco
- 4,6467837624
- Equação
- y=1x^2
O comprimento de arco ao longo de uma parábola é um exercício clássico de cálculo que ainda aparece em design, óptica e preparação para exames sempre que a curva y igual a a vezes x ao quadrado deve ser medida entre duas retas verticais. Integrar à mão a raiz quadrada de um mais a derivada ao quadrado é propenso a erros, e a quadratura numérica genérica é mais pesada do que o necessário para esta forma fechada elementar. Esta calculadora de comprimento de arco de parábola aceita o coeficiente quadrático a e os extremos finitos x1 e x2, avalia a antiderivada exata com uma raiz quadrada e um seno hiperbólico inverso, e devolve um comprimento de arco positivo com as entradas ecoadas e uma string breve de fórmula.
O que significa o comprimento de arco de uma parábola e como a forma fechada funciona
Uma parábola escrita como y igual a a vezes x ao quadrado é a quadrática vertical mais simples. Sua inclinação em qualquer x é dois a x, de modo que o elemento diferencial de comprimento de arco é a raiz quadrada de um mais quatro a ao quadrado vezes x ao quadrado. Integrar esse elemento de x1 até x2 produz o comprimento total da curva entre as retas verticais x igual a x1 e x igual a x2.
Quando a é diferente de zero a antiderivada tem uma forma fechada padrão: metade de x vezes a raiz de um mais b ao quadrado vezes x ao quadrado, mais um sobre dois b vezes o seno hiperbólico inverso de b x, onde b é duas vezes o valor absoluto de a. Avaliar essa primitiva em ambos os extremos e tomar a diferença absoluta produz um comprimento positivo independentemente de o chamador ter ordenado os extremos de forma ascendente ou descendente.
A forma com seno hiperbólico inverso é preferida à expressão logarítmica equivalente porque permanece numericamente estável para x grandes e negativos. A calculadora responde de propósito apenas a esta pergunta de comprimento de arco para y igual a a vezes x ao quadrado. Não devolve a área sob a curva, a distância focal, as coordenadas do vértice nem uma reparametrização paramétrica por comprimento de arco.
Manter o contrato em três números e uma saída principal torna a ferramenta ideal como verificação rápida ao lado de um problema de livro, uma cota CAD ou um passo de uma linha em um pipeline geométrico maior que já escolheu a forma quadrática mônica.
Onde uma calculadora de comprimento de arco de parábola agrega valor
O dever de geometria e cálculo costuma pedir o comprimento de y igual a a vezes x ao quadrado entre dois valores de x depois que os alunos já montaram a integral da raiz de um mais a derivada ao quadrado. Às vezes a integral é substituída pela corda reta entre os extremos, o que subestima a curva verdadeira; um oráculo determinístico que sempre aplica a forma fechada detecta esses atalhos antes de um tutor gastar uma sessão em substituições hiperbólicas.
Cadernos de design óptico e estrutural que fixam a a partir de uma relação de distância focal e precisam do comprimento de material de um espelho ou trecho de arco parabólico entre duas estações verticais querem um número em forma fechada sem importar bibliotecas de quadratura. Fluxos de paisagismo e arquitetura que traçam arcos, rampas ou perfis de cabo parabólicos convertem um coeficiente medido e duas marcas de estação em comprimento total de curva para listas de corte sem abrir um CAD completo.
Geradores de preparação para exames e autoavaliadores LMS precisam de um verificador fechado minúsculo que rejeite extremos iguais como inválidos em vez de devolver em silêncio comprimento zero que um avaliador com bug poderia aceitar.
Casos de uso
Verificações em sala e dever de casa
Os alunos inserem a, x1 e x2 para y=ax² e verificam o comprimento de arco em forma fechada, detectando aproximações por corda e erros de sinal no seno hiperbólico inverso.
Espelhos, arcos e estimativas de material
Converta um coeficiente de projeto fixo e duas marcas de estação no comprimento total da curva parabólica para estoque, cabo ou borda de espelho sem integradores numéricos.
Autoavaliação LMS e exames
Corrija itens de comprimento de arco com um oráculo determinístico que rejeita extremos de x iguais como inválidos e nunca inventa um comprimento para um intervalo de largura zero.
Perguntas frequentes
Como calcular o comprimento de arco de uma parábola y = a x²?
Envie os números finitos a, x1 e x2.
O que acontece se x1 for igual a x2?
Extremos de intervalo iguais definem um intervalo de largura zero sem comprimento de arco significativo e não são cobrados.
Funciona para y = ax² + bx + c?
Não. Ela mede apenas curvas da forma y igual a a vezes x ao quadrado. Também não dá a área sob a curva, a distância focal nem o vértice: responde só ao comprimento de arco.
A ordem dos dois limites importa?
Não. A fórmula é calculada nas duas pontas e a diferença é tomada em valor absoluto, então você recebe o mesmo comprimento positivo digitando primeiro o limite menor ou o maior.
E se o coeficiente for zero?
Aí o gráfico é uma reta horizontal e o comprimento é simplesmente a distância entre os dois limites. Continua sendo um resultado válido, então uma curva plana não precisa de tratamento especial.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"x1":0,"x2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"x1":0,"x2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"x1":0,"x2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.parabola_arc_length",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando os dois extremos coincidem o intervalo tem largura zero, de modo que a tarefa falha com invalid_input em vez de reportar um comprimento zero vazio que um cliente descuidado poderia tratar como sucesso.
O que significa o comprimento de arco de uma parábola e como a forma fechada funciona
Quando a é zero o gráfico é uma reta horizontal e o comprimento se reduz à diferença absoluta dos extremos, que este endpoint ainda reporta como sucesso válido para que os chamadores não precisem de um ramo especial para coeficientes nulos.
Contrato de entrada, formato da resposta e comportamento de erro
Se x1 for igual a x2 o manipulador rejeita a solicitação com uma mensagem clara de que extremos de intervalo iguais dão um intervalo de largura zero sem comprimento de arco significativo; essas falhas não são cobradas. Exemplo: a igual a um, x1 igual a zero, x2 igual a dois produz um comprimento próximo de quatro ponto seis cinco, coincidindo com a integral padrão de livro para y igual a x ao quadrado nesse intervalo. As unidades são definidas pelo chamador: se você enviar metros para x obtém metros de comprimento de arco; se enviar polegadas obtém polegadas. A calculadora não converte unidades, não prova que a veio de um parâmetro físico de foco, não desenha a parábola nem muda para a forma geral y igual a a x ao quadrado mais b x mais c. Combine o resultado numérico com seus próprios rótulos de unidade e desenhos. Envie por POST um corpo JSON com três números finitos obrigatórios: a, o coeficiente quadrático em y igual a a vezes x ao quadrado; x1, o primeiro extremo do intervalo em x; e x2, o segundo extremo. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; strings vazias, campos ausentes, Infinity e NaN falham com invalid_input nomeando o problema. Os aliases coefficient e coeff mapeiam para a; x_min, from e start para x1; x_max, to e end para x2, de modo que clientes que já usam nomes geométricos mais longos não precisam de uma camada de renomeação. Em caso de sucesso o corpo inclui a, x1 e x2 ecoados arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis; arc_length igual à diferença absoluta da antiderivada fechada nos dois extremos com o mesmo arredondamento; equation igual a uma string curta y igual a a x ao quadrado; e formula reafirmando a identidade integral. Como a implementação é parse pura de nível A sem rede nem tokens de modelo, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002; a entrada inválida não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe o arc_length arredondado nos testes e você obtém respostas reproduzíveis de três campos para dever de casa, plugins LMS e workers na borda sem levantar um integrador numérico.
Onde uma calculadora de comprimento de arco de parábola agrega valor
Cadernos de engenharia e substitutos de planilha podem chamar este endpoint como um passo de três campos quando um script maior já guarda coeficientes de várias figuras e só o caso puro de comprimento de arco de y igual a a vezes x ao quadrado precisa de um nome SEO claro, distinto do comprimento de arco de setor circular ou de suítes de vértice de parábola. Em todos esses cenários o valor não é matemática exótica: é um contrato estável, erros claros e uma intenção de busca que corresponde a como as pessoas de fato consultam o comprimento de arco de uma parábola a partir de um coeficiente e um intervalo em x a US$ 0,002 por chamada API bem-sucedida.
Perguntas técnicas
a = 0 é permitido?
Sim. Quando a é zero o gráfico é uma reta horizontal e arc_length é a diferença absoluta |x2−x1|, desde que os extremos ainda sejam distintos.
A ordem de x1 e x2 importa?
Não. O arc_length devolvido é sempre não negativo; a diferença absoluta dos valores da antiderivada torna qualquer ordem válida.
Quanto custa a calculadora de comprimento de arco de parábola?
A ferramenta no navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.