Lunghezza d'arco di parabola

La lunghezza d'arco lungo una parabola è un esercizio classico di calcolo che compare ancora in progettazione, ottica e preparazione agli esami ogni volta che la curva y uguale a a per x al quadrato deve essere misurata tra due rette verticali. Integrare a mano la radice quadrata di uno più il quadrato della derivata è soggetto a errori, e una quadratura numerica generica è più pesante del necessario per questa forma chiusa elementare. Questo calcolatore di lunghezza d'arco di parabola accetta il coefficiente quadratico a e gli estremi finiti x1 e x2, valuta l'antiderivata esatta con una radice quadrata e un seno iperbolico inverso, e restituisce una lunghezza d'arco positiva con gli input eco e una breve stringa di formula.

Cosa significa la lunghezza d'arco di una parabola e come funziona la forma chiusa

Una parabola scritta come y uguale a a per x al quadrato è la quadratica verticale più semplice. La sua pendenza in ogni x è due a x, quindi l'elemento differenziale di lunghezza d'arco è la radice quadrata di uno più quattro a al quadrato per x al quadrato. Integrare tale elemento da x1 a x2 produce la lunghezza totale della curva tra le rette verticali x uguale a x1 e x uguale a x2.

Quando a è non nullo l'antiderivata ha una forma chiusa standard: metà di x moltiplicata per la radice di uno più b al quadrato per x al quadrato, più uno su due b moltiplicato per il seno iperbolico inverso di b x, dove b è due volte il valore assoluto di a. Valutare quella primitiva a entrambi gli estremi e prendere la differenza assoluta produce una lunghezza positiva indipendentemente dall'ordine crescente o decrescente scelto dal chiamante.

La forma con seno iperbolico inverso è preferita all'espressione logaritmica equivalente perché resta numericamente stabile per x grandi e negativi. Il calcolatore risponde di proposito solo a questa domanda di lunghezza d'arco per y uguale a a per x al quadrato. Non restituisce l'area sotto la curva, la distanza focale, le coordinate del vertice né una riparametrizzazione parametrica per lunghezza d'arco.

Mantenere il contratto a tre numeri e un'uscita primaria rende lo strumento ideale come controllo rapido accanto a un problema da manuale, a una quota CAD o a un passo di una riga in una pipeline geometrica più ampia che ha già scelto la forma quadratica monica.

Dove un calcolatore di lunghezza d'arco di parabola trova utilità

I compiti di geometria e calcolo chiedono spesso la lunghezza di y uguale a a per x al quadrato tra due valori di x dopo che gli studenti hanno già impostato l'integrale della radice di uno più il quadrato della derivata. A volte l'integrale viene sostituito dalla corda rettilinea tra gli estremi, che sottostima la curva vera; un oracolo deterministico che applica sempre la forma chiusa individua tali scorciatoie prima che un tutor dedichi una sessione alle sostituzioni iperboliche.

I taccuini di progettazione ottica e strutturale che fissano a da una relazione di distanza focale e necessitano della lunghezza di materiale di uno specchio o di un tratto d'arco parabolico tra due stazioni verticali vogliono un numero in forma chiusa senza importare librerie di quadratura. I flussi di paesaggio e architettura che tracciano archi, rampe o profili di cavo parabolici convertono un coefficiente misurato e due segni di stazione in lunghezza totale di curva per liste di taglio senza aprire una suite CAD completa.

I generatori di preparazione esami e gli auto-correttori LMS necessitano di un piccolo verificatore in forma chiusa che rifiuti estremi uguali come non validi invece di restituire in silenzio una lunghezza zero che un correttore difettoso potrebbe accettare.