放物線の弧長計算
y = x² の曲線は、xが0から2までの間で長さ4.646783762433になります。係数と2つの端の値を入力するだけで、放物線のアーチや鏡、練習問題の弧の長さが正確に分かります。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
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計算例
- A
- 1
- X1
- 0
- X2
- 2
- 弧の長さ
- 4.6467837624
- 方程式
- y=1x^2
放物線に沿った弧長は、設計・光学・受験対策でも、曲線 y が a 倍の x の二乗で表され、2 本の鉛直線のあいだで測る必要があるときに今なお現れる古典的な微積分の課題です。1 に導関数の二乗を加えたものの平方根を手計算で積分すると誤りやすく、この初等的な閉形式には汎用の数値求積は過剰です。本放物線弧長計算機は二次係数 a と有限の端点 x1・x2 を受け取り、平方根と逆双曲線正弦を含む厳密な原始関数を評価し、正の弧長と入力のエコーおよび短い数式文字列を返します。
放物線の弧長の意味と閉形式の仕組み
y が a 倍の x の二乗と書かれた放物線は、最も単純な縦向き二次曲線です。任意の x における傾きは 2 a x なので、弧長の微分要素は 1 に 4 a の二乗と x の二乗を加えたものの平方根になります。その要素を x1 から x2 まで積分すると、鉛直線 x が x1 と x が x2 のあいだの曲線全長が得られます。
a が零のときグラフは水平線となり、長さは端点の絶対差に縮みます。a が非零のとき原始関数には標準的な閉形式があります。すなわち x の半分に 1 に b の二乗と x の二乗を加えた平方根を掛けたものに、2 b 分の 1 に b x の逆双曲線正弦を加えたものであり、ここで b は a の絶対値の 2 倍です。
両端でその原始関数を評価し絶対差をとると、呼び出し側が端点を昇順でも降順でも正の長さになります。逆双曲線正弦形は同値の対数表現より、大きな負の x でも数値的に安定するため好まれます。本計算機は意図的に y が a 倍の x の二乗に対するこの弧長の問いだけに答えます。
曲線下の面積、焦点距離、頂点座標、弧長による再パラメータ化は返しません。契約を三数と一つの主出力に保つことで、教科書問題・CAD 寸法・既に単項二次形を選んだ幾何パイプラインの一行ステップの横での高速確認に適します。
入力契約・応答形・エラー挙動
a は y が a 倍の x の二乗における二次係数、x1 は x 区間の第一端点、x2 は第二端点です。x1 が x2 と等しいと、等しい範囲端点が幅零の区間となり意味のある弧長がない旨の明確なメッセージで拒否され、その失敗は課金されません。
例：a が 1、x1 が 0、x2 が 2 のとき長さはおよそ 4.65 となり、その区間上の y が x の二乗の標準教科書積分と一致します。単位は呼び出し側定義です。x をメートルで送れば弧長もメートル、インチならインチです。
単位換算、a が物理焦点パラメータ由来であることの証明、放物線の描画、一般形 y が a x の二乗に b x と c を加えた形への切替は行いません。数値結果にはご自身の単位ラベルと図を添えてください。
放物線弧長計算機が価値を発揮する場面
幾何と微積分の宿題では、学習者がすでに 1 に導関数の二乗を加えた平方根の積分を立てたあと、二つの x 値のあいだで y が a 倍の x の二乗の長さを問うことがよくあります。積分を端点間の直線弦で置き換えると真の曲線を過小評価します。常に閉形式を用いる決定論的オラクルは、指導者が双曲線置換に一コマ費やす前にその近道を検出します。
焦点距離関係から a を固定し、二つの鉛直ステーション間の放物面鏡やアーチ区間の材料長が必要な光学・構造設計ノートは、求積ライブラリを持ち込まずに閉形式の数値が欲しいです。放物線アーチ・スロープ・ケーブル断面を置く造園・建築ワークフローは、測定した係数と二つの測点を、フル CAD を開かずに切断リスト用の総曲線長へ変換します。
受験対策ジェネレータと LMS 自動採点は、等しい端点を無効として拒否し、バグのある採点が受け入れうる零長を黙って返さない小さな閉形式チェッカーを必要とします。
活用例
授業・宿題の確認
学習者が y=ax² について a・x1・x2 を入力し閉形式の弧長を検証し、弦近似や逆双曲線正弦の符号ミスを検出します。
鏡・アーチ・材料見積もり
固定した設計係数と二つの測点を、数値積分器なしで在庫・ケーブル・鏡縁用の放物線総曲線長に変換します。
LMS・試験の自動採点
等しい x 端点を無効とし、幅零区間の長さを捏造しない決定論的オラクルで弧長問題を採点します。
よくある質問
x1 が x2 と等しいとどうなりますか？
等しい範囲端点は幅零の区間を定義し、意味のある弧長はなく課金されません。
y = ax² + bx + c の形にも使えますか？
使えません。y = ax² の形の曲線だけを測ります。曲線の下の面積や焦点距離、頂点も求めず、弧の長さだけに答えます。
2つの端の値を入れる順番は関係ありますか？
関係ありません。両端で式を計算して差の絶対値をとるため、小さいほうと大きいほうのどちらを先に入れても同じ正の長さになります。
係数が0のときはどうなりますか？
グラフは水平な直線になり、長さは2つの端の値の差そのものになります。正しい結果として返されるので、平らな場合を別に扱う必要はありません。
弧長はどの単位で表示されますか？
xに使った単位と同じです。メートルで入力すればメートル、インチならインチの長さになります。単位の換算は行いません。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"x1":0,"x2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"x1":0,"x2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"x1":0,"x2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.parabola_arc_length",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
両端点が等しいと区間幅は零になり、不注意なクライアントが成功とみなしうる空虚な零長を返す代わりに invalid_input で失敗します。
放物線の弧長の意味と閉形式の仕組み
このエンドポイントはそれを依然として有効な成功として報告するため、平坦な係数のために特別な分岐は不要です。
入力契約・応答形・エラー挙動
必須の有限数三つを含む JSON 本体を POST してください。各フィールドは JSON 数値でも数値文字列でもよく、空文字・欠落・Infinity・NaN は問題を名指しして invalid_input で失敗します。別名 coefficient と coeff は a に、x_min・from・start は x1 に、x_max・to・end は x2 に対応し、既に長い幾何名を使うクライアントに改名層は不要です。実装はネットワークもモデルトークンもない純粋 parse ティア A のため、成功呼び出しは公開の基本価格 $0.002 で、無効入力は残高を消費しません。要求を小さく保ち、丸めた arc_length をテストに固定すれば、数値積分器を立てずに宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けの再現可能な三フィールド応答が得られます。
放物線弧長計算機が価値を発揮する場面
より大きなスクリプトが複数図形の係数を既に持ち、純な y が a 倍の x の二乗の弧長だけが、円扇形の弧長や放物線頂点スイートと異なる SEO 明確な名前を要するとき、工学ノートや表計算代替はこのエンドポイントを三フィールド手順として呼べます。いずれの場面でも価値は珍奇な数学ではなく、安定した契約、明確なエラー、係数と x 範囲から放物線弧長を実際に検索する意図への一致であり、成功 API 呼び出しあたり $0.002 です。
技術的な質問
放物線 y = a x² の弧長はどのように計算しますか？
有限数 a・x1・x2 を送ってください。API は √(1+(2ax)²) を閉形式で積分し、それらの鉛直端点間の正の arc_length を返します。
a = 0 は許可されますか？
はい。a が零のときグラフは水平線で、端点が異なる限り arc_length は絶対差 |x2−x1| です。
x1 と x2 の順序は重要ですか？
いいえ。返る arc_length は常に非負で、原始関数値の絶対差によりどちらの順序も有効です。
放物線弧長計算機の料金は？
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 で、無効入力は課金されません。