Longitud de arco de parábola
La curva y = x² mide 4,646783762433 unidades entre 0 y 2 en el eje x. Indique el coeficiente y los dos límites y obtenga la longitud exacta del arco de una bóveda parabólica, un espejo o un ejercicio. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- X1
- 0
- X2
- 2
- Longitud de arco
- 4,6467837624
- Ecuación
- y=1x^2
La longitud de arco a lo largo de una parábola es un ejercicio clásico de cálculo que sigue apareciendo en diseño, óptica y preparación de exámenes siempre que la curva y igual a a por x al cuadrado deba medirse entre dos rectas verticales. Integrar a mano la raíz cuadrada de uno más la derivada al cuadrado es propenso a errores, y la cuadratura numérica genérica es más pesada de lo necesario para esta forma cerrada elemental. Esta calculadora de longitud de arco de parábola acepta el coeficiente cuadrático a y los extremos finitos x1 y x2, evalúa la antiderivada exacta con una raíz cuadrada y un seno hiperbólico inverso, y devuelve una longitud de arco positiva con las entradas ecoadas y una cadena breve de fórmula.
Qué significa la longitud de arco de una parábola y cómo funciona la forma cerrada
Una parábola escrita como y igual a a por x al cuadrado es la cuadrática vertical más simple. Su pendiente en cualquier x es dos a x, de modo que el elemento diferencial de longitud de arco es la raíz cuadrada de uno más cuatro a al cuadrado por x al cuadrado. Integrar ese elemento desde x1 hasta x2 produce la longitud total de la curva entre las rectas verticales x igual a x1 y x igual a x2.
Cuando a es distinto de cero la antiderivada tiene una forma cerrada estándar: la mitad de x por la raíz de uno más b al cuadrado por x al cuadrado, más uno entre dos b por el seno hiperbólico inverso de b x, donde b es dos veces el valor absoluto de a. Evaluar esa primitiva en ambos extremos y tomar la diferencia absoluta produce una longitud positiva con independencia de si el llamador ordenó los extremos de forma ascendente o descendente.
La forma con seno hiperbólico inverso se prefiere a la expresión logarítmica equivalente porque permanece numéricamente estable para x grandes y negativos. La calculadora responde intencionadamente solo a esta pregunta de longitud de arco para y igual a a por x al cuadrado. No devuelve el área bajo la curva, la distancia focal, las coordenadas del vértice ni una reparametrización paramétrica por longitud de arco.
Mantener el contrato en tres números y una salida principal hace que la herramienta sea ideal como comprobación rápida junto a un problema de libro, una cota CAD o un paso de una línea en un pipeline geométrico más amplio que ya eligió la forma cuadrática mónica.
Dónde una calculadora de longitud de arco de parábola aporta valor
Los deberes de geometría y cálculo suelen pedir la longitud de y igual a a por x al cuadrado entre dos valores de x después de que el alumnado haya montado la integral de la raíz de uno más la derivada al cuadrado. A veces se sustituye la integral por la cuerda recta entre los extremos, lo que subestima la curva real; un oráculo determinista que siempre aplica la forma cerrada detecta esos atajos antes de que un tutor dedique una sesión a las sustituciones hiperbólicas.
Los cuadernos de diseño óptico y estructural que fijan a a partir de una relación de distancia focal y necesitan la longitud de material de un espejo o tramo de arco parabólico entre dos estaciones verticales quieren un número en forma cerrada sin importar bibliotecas de cuadratura. Los flujos de paisaje y arquitectura que trazan arcos, rampas o perfiles de cable parabólicos convierten un coeficiente medido y dos marcas de estación en longitud total de curva para listas de corte sin abrir un CAD completo.
Los generadores de preparación de exámenes y los autoevaluadores LMS necesitan un comprobador cerrado diminuto que rechace extremos iguales como inválidos en lugar de devolver en silencio una longitud cero que un calificador defectuoso podría aceptar.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de aula y deberes
El alumnado introduce a, x1 y x2 para y=ax² y verifica la longitud de arco en forma cerrada, detectando aproximaciones por cuerda y errores de signo en el seno hiperbólico inverso.
Espejos, arcos y estimaciones de material
Convierta un coeficiente de diseño fijado y dos marcas de estación en la longitud total de la curva parabólica para stock, cable o borde de espejo sin integradores numéricos.
Autoevaluación LMS y exámenes
Califique ítems de longitud de arco con un oráculo determinista que rechaza extremos de x iguales como inválidos y nunca inventa una longitud para un intervalo de anchura cero.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la longitud de arco de una parábola y = a x²?
Envíe los números finitos a, x1 y x2.
¿Qué ocurre si x1 es igual a x2?
Extremos de rango iguales definen un intervalo de anchura cero sin longitud de arco significativa y no se facturan.
¿Sirve para y = ax² + bx + c?
No. Solo mide curvas de la forma y igual a a por x al cuadrado. Tampoco da el área bajo la curva, la distancia focal ni el vértice: responde únicamente a la longitud de arco.
¿Importa el orden de los dos límites?
No. La fórmula se evalúa en ambos extremos y se toma la diferencia en valor absoluto, así que obtiene la misma longitud positiva escriba primero el límite menor o el mayor.
¿Qué pasa si el coeficiente es cero?
Entonces la gráfica es una recta horizontal y la longitud es simplemente la distancia entre los dos límites. Sigue siendo un resultado válido, así que una curva plana no necesita ningún trato especial.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"x1":0,"x2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"x1":0,"x2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"x1":0,"x2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-arc-length", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"x1": 0,
"x2": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.parabola_arc_length",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cuando los dos extremos coinciden el intervalo tiene anchura cero, de modo que la tarea falla con invalid_input en lugar de reportar una longitud cero vacua que un cliente descuidado podría tratar como éxito.
Qué significa la longitud de arco de una parábola y cómo funciona la forma cerrada
Cuando a es cero el gráfico es una recta horizontal y la longitud se reduce a la diferencia absoluta de los extremos, que este endpoint sigue reportando como éxito válido para que los llamadores no necesiten una rama especial por coeficientes nulos.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y comportamiento ante errores
Si x1 es igual a x2 el manejador rechaza la solicitud con un mensaje claro de que extremos de rango iguales dan un intervalo de anchura cero sin longitud de arco significativa; esos fallos no se facturan. Ejemplo: a igual a uno, x1 igual a cero, x2 igual a dos produce una longitud cercana a cuatro punto seis cinco, que coincide con la integral estándar de libro para y igual a x al cuadrado en ese intervalo. Las unidades las define el llamador: si envía metros para x obtiene metros de longitud de arco; si envía pulgadas obtiene pulgadas. La calculadora no convierte unidades, no demuestra que a provenga de un parámetro físico de foco, no dibuja la parábola ni cambia a la forma general y igual a a x al cuadrado más b x más c. Combine el resultado numérico con sus propias etiquetas de unidad y dibujos. Envíe por POST un cuerpo JSON con tres números finitos obligatorios: a, el coeficiente cuadrático en y igual a a por x al cuadrado; x1, el primer extremo del intervalo en x; y x2, el segundo extremo. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; las cadenas vacías, los campos ausentes, Infinity y NaN fallan con invalid_input nombrando el problema. Los alias coefficient y coeff se asignan a a; x_min, from y start a x1; x_max, to y end a x2, de modo que los clientes que ya usan nombres geométricos más largos no necesitan una capa de renombrado. En caso de éxito el cuerpo incluye a, x1 y x2 ecoados redondeados a doce decimales para goldens estables; arc_length igual a la diferencia absoluta de la antiderivada cerrada en los dos extremos con el mismo redondeo; equation igual a una cadena corta y igual a a x al cuadrado; y formula que reafirma la identidad integral. Como la implementación es parse pura de nivel A sin red ni tokens de modelo, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002; la entrada inválida no consume saldo. Mantenga las solicitudes pequeñas, fije el arc_length redondeado en las pruebas y obtendrá respuestas reproducibles de tres campos para deberes, plugins LMS y workers en el borde sin levantar un integrador numérico.
Dónde una calculadora de longitud de arco de parábola aporta valor
Los cuadernos de ingeniería y los sustitutos de hoja de cálculo pueden llamar a este endpoint como un paso de tres campos cuando un script mayor ya tiene coeficientes de varias figuras y solo el caso puro de longitud de arco de y igual a a por x al cuadrado necesita un nombre SEO claro, distinto de la longitud de arco de sector circular o de las suites de vértice de parábola. En todos esos escenarios el valor no es una matemática exótica: es un contrato estable, errores claros y una intención de búsqueda que coincide con cómo la gente consulta de verdad la longitud de arco de una parábola a partir de un coeficiente y un intervalo en x a $0.002 por llamada API exitosa.
Preguntas técnicas
¿Se permite a = 0?
Sí. Cuando a es cero el gráfico es una recta horizontal y arc_length es la diferencia absoluta |x2−x1|, siempre que los extremos sigan siendo distintos.
¿Importa el orden de x1 y x2?
No. El arc_length devuelto es siempre no negativo; la diferencia absoluta de los valores de la antiderivada hace válido cualquier orden.
¿Cuánto cuesta la calculadora de longitud de arco de parábola?
La herramienta en el navegador es gratuita. Las solicitudes API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.