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Parábola desde foco y directriz

Un foco en (0, 1) con la directriz una unidad por debajo del origen da la parábola x² = 4y, con vértice en el origen y distancia focal 1. Indique cualquier foco y recta y obtenga la ecuación, el vértice y el eje. Gratis en su navegador.

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Ejemplo resuelto

Si escribe

Foco x: 0
Foco y: 1
A: 0
B: 1
C: 1

Obtiene

Ecuación de la directriz: y + 1 = 0
Ecuación: x^2 - 4y = 0
Coeficiente de xx: 1
Coeficiente de xy: 0

Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Con esos dos datos usted recupera la ecuación cartesiana completa, el vértice (punto medio entre el foco y su pie sobre la recta) y la distancia focal sin suponer de antemano una forma canónica. Esta calculadora de parábola desde foco y directriz acepta las coordenadas del foco y los coeficientes de la recta ax más by más c igual a cero, expande la identidad de equidistancia en una cónica general y devuelve una cadena de ecuación estable más resúmenes geométricos que usted puede usar en cuadernos, calificadores LMS o comprobaciones CAD.

Definición, expansión de la ecuación y cuándo falla la construcción

Al escribir esa identidad y elevar al cuadrado ambos lados (tras multiplicar por el cuadrado de la normal de la recta) se obtiene una ecuación cuadrática en x e y: A x al cuadrado más B x y más C y al cuadrado más D x más E y más F igual a cero.

Los coeficientes tienen forma cerrada en el foco y la recta: A es b al cuadrado, B es menos dos a b, C es a al cuadrado, y los términos lineales y el constante involucran el producto de la longitud al cuadrado de la normal con las coordenadas del foco más términos cruzados con c. Esa cónica general es siempre una parábola cuando el foco no está sobre la recta, porque la construcción de equidistancia fuerza excentricidad uno.

El vértice es el punto medio del segmento del foco a su proyección ortogonal (pie) sobre la directriz; la distancia focal es la mitad de la distancia foco-recta; el eje apunta del vértice hacia el foco a lo largo de la normal de la recta. Si a y b son ambos cero, el triple (a, b, c) no define una recta y la solicitud se rechaza.

Contrato de entrada, campos de respuesta y ejemplos resueltos

Los campos numéricos se redondean a doce decimales para goldens estables entre entornos. Comprobación clásica: foco en (0, 1) y directriz y igual a menos uno, codificada como a igual a cero, b igual a uno, c igual a uno, produce la parábola x al cuadrado menos cuatro y igual a cero (equivalente a y igual a x al cuadrado entre cuatro), vértice en el origen y distancia focal uno.

Otro caso útil es una directriz inclinada: cualquier a, b no ambos nulos con el foco fuera de la recta genera un término xy no nulo, que este extremo conserva en lugar de forzar una rotación a forma alineada con los ejes. Combine los coeficientes con su propio trazador si necesita un bosquejo; la capacidad devuelve solo resúmenes algebraicos y geométricos.

Para qué sirve hallar la parábola desde foco y directriz

Los cursos de geometría analítica presentan las parábolas mediante foco y directriz antes que las formas canónicas, de modo que el alumnado suele tener F y la recta primero y necesita la ecuación después. Las plataformas de tutoría y los generadores de exámenes pueden llamar a este extremo como un oráculo determinista que rechaza el caso del foco sobre la recta en lugar de devolver en silencio una matriz singular de una expansión hecha a mano.

Mantenga las solicitudes pequeñas, fije en las pruebas los coeficientes y el vértice redondeados, y obtendrá ecuaciones de parábola reproducibles para tareas, plugins LMS y trabajadores en el borde sin levantar infraestructura simbólica propia.

Qué puede hacer con ella

Comprobaciones de aula foco–directriz

Permita que el alumnado introduzca un foco y los coeficientes de la directriz y verifique la ecuación cónica, el vértice y la distancia focal frente a las expansiones del libro.

Notas de óptica y diseño de espejos

Recupere coeficientes cartesianos a partir de un foco y una recta base prescritos en cuadernos de laboratorio sin importar un sistema completo de álgebra computacional.

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si el foco está sobre la directriz?

Distancia cero significa que no hay parábola finita; ese caso no se factura.

¿Qué forma de recta usa la directriz?

Se admiten directrices horizontales y verticales (por ejemplo y = −1 como 0·x + 1·y + 1 = 0).

¿Qué forma de ecuación se devuelve?

Las directrices inclinadas conservan un término xy no nulo.

¿Cómo se obtiene el vértice a partir del foco y la directriz?

El vértice es el punto medio entre el foco y el pie de la perpendicular trazada desde el foco hasta la directriz. La distancia focal es la mitad de la distancia del foco a la recta.

¿Puede la directriz ser una recta inclinada?

Sí. Sirve cualquier recta, no solo las horizontales o verticales: basta con dar sus coeficientes a, b y c. Una directriz inclinada produce una parábola girada cuya ecuación incluye un término en xy.

Herramientas relacionadas

Para desarrolladores — acceso por API

Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.

Endpoint de API

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix

¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.

Llámela desde su stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"focus_x":0,"focus_y":1,"a":0,"b":1,"c":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "focus_x": 0,
    "focus_y": 1,
    "a": 0,
    "b": 1,
    "c": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "focus_x": 0,
    "focus_y": 1,
    "a": 0,
    "b": 1,
    "c": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"focus_x":0,"focus_y":1,"a":0,"b":1,"c":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"focus_x":0,"focus_y":1,"a":0,"b":1,"c":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola-from-focus-directrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Ejemplo de solicitud

{
  "focus_x": 0,
  "focus_y": 1,
  "a": 0,
  "b": 1,
  "c": 1
}

Ejemplo de respuesta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.parabola_from_focus_directrix",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.

Precio

Por solicitud$0.002

Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.

Errores

HTTP	Código	Significado
`401`	`unauthorized`	API key ausente o inválida.
`402`	`insufficient_balance`	El saldo no cubre el precio de la tarea.
`404`	`unknown_type`	El tipo de tarea no existe.
`429`	`rate_limited`	Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear.

Notas técnicas

Cuando el foco está sobre la directriz la distancia es cero y no existe una parábola finita, de modo que la tarea falla con invalid_input en lugar de inventar una curva degenerada.

Definición, expansión de la ecuación y cuándo falla la construcción

Por definición un punto P igual a (x, y) pertenece a la parábola con foco F igual a (focus_x, focus_y) y directriz ax más by más c igual a cero cuando la distancia euclídea de P a F coincide con la distancia perpendicular de P a la recta. Si el valor absoluto de a por focus_x más b por focus_y más c es cero, el foco está sobre la directriz, la distancia focal se anula y la capacidad devuelve invalid_input con un mensaje claro en lugar de una ecuación vacía. Esos dos modos de fallo coinciden con el lenguaje de los libros de texto y evitan que los clientes API traten una imposibilidad geométrica como un éxito facturado.

Contrato de entrada, campos de respuesta y ejemplos resueltos

Envíe por POST un cuerpo JSON con cinco números finitos obligatorios: focus_x y focus_y para el foco, y a, b, c para la directriz escrita como ax más by más c igual a cero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías y los valores no finitos fallan con invalid_input nombrando el campo. Se aceptan alias como fx, fy y coeff_a para que analizadores de tareas y cuadernos reutilicen nombres de clave ya existentes. En caso de éxito el cuerpo repite el foco y los coeficientes de la recta, ofrece directrix_equation y equation como cadenas de visualización, enumera los seis coeficientes de la cónica general coeff_xx hasta coeff_const, y devuelve vertex_x, vertex_y, focal_length, focus_to_directrix_distance y un axis_direction unitario del vértice hacia el foco.

Dónde aporta valor una API de parábola foco–directriz

Las notas de ingeniería y óptica modelan espejos parabólicos y antenas a partir de un foco y una recta base prescritos; una API de análisis pequeña evita arrastrar un sistema completo de álgebra computacional por cinco coeficientes. Como la implementación es parse de nivel A puro, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente, y la validación fallida no consume saldo.

Casos de integración

Autocalificación de exámenes y LMS

Califique ítems de parábola por definición con un oráculo determinista que rechaza foco sobre la directriz como invalid_input en lugar de una curva falsa.

Preguntas técnicas

¿Cómo obtengo la ecuación de una parábola a partir del foco y la directriz?

Envíe focus_x, focus_y finitos y coeficientes a, b, c de la directriz ax+by+c=0. La API devuelve la ecuación cónica general, el vértice y la distancia focal según la definición de equidistancia.

¿Cuánto cuesta la calculadora de parábola desde foco y directriz?

La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes API usan saldo KIT prepago a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.

Ver la documentación completa del KIT →

Ejecutar — gratis

Ejemplo resuelto

Definición, expansión de la ecuación y cuándo falla la construcción

Contrato de entrada, campos de respuesta y ejemplos resueltos

Para qué sirve hallar la parábola desde foco y directriz

Qué puede hacer con ella

Comprobaciones de aula foco–directriz

Notas de óptica y diseño de espejos

Preguntas frecuentes

Herramientas relacionadas

Para desarrolladores — acceso por API

Endpoint de API

Llámela desde su stack

Ejemplo de solicitud

Ejemplo de respuesta

Precio

Errores

Notas técnicas

Definición, expansión de la ecuación y cuándo falla la construcción

Contrato de entrada, campos de respuesta y ejemplos resueltos

Dónde aporta valor una API de parábola foco–directriz

Casos de integración

Autocalificación de exámenes y LMS

Preguntas técnicas

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