Círculo a partir do centro e ponto
Informe o centro e um ponto da circunferência e receba o raio e a equação: centro na origem e ponto (3, 4) dão raio 5 e x² + y² = 25. A forma geral, o diâmetro e o raio ao quadrado vêm junto. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- H
- 0
- K
- 0
- X
- 3
- Y
- 4
- Raio
- 5
- Raio ao quadrado
- 25
- Diâmetro
- 10
- Equação padrão
- x^2 + y^2 = 25
Encontrar a equação de um círculo quando você já conhece o centro e um ponto da circunferência é uma tarefa clássica de geometria analítica em cursos de álgebra, checagens CAD e colisões em jogos. Os estudantes expandem à mão (x menos h) ao quadrado mais (y menos k) ao quadrado igual a r ao quadrado; scripts precisam da mesma identidade sem um motor de álgebra completo. Esta calculadora de círculo a partir do centro e de um ponto aceita as coordenadas do centro h e k junto com um ponto x e y da circunferência, calcula o raio euclidiano como a distância do centro ao ponto e devolve a equação padrão mais a forma geral, o diâmetro e o raio ao quadrado.
O que o centro mais um ponto da circunferência determina e o que a resposta contém
No plano euclidiano um círculo fica completamente fixado quando se conhecem o centro e o raio. Quando o raio não é dado diretamente, qualquer ponto que deva estar na circunferência fornece esse comprimento: o raio é exatamente a distância entre o centro e esse ponto. Esta calculadora transforma essa definição em uma equação pronta para uso.
Você fornece quatro números finitos: h e k para o centro, e x e y para um ponto da circunferência. Internamente o motor avalia r como a raiz quadrada de (x menos h) ao quadrado mais (y menos k) ao quadrado com um caminho hypot estável e monta a forma padrão (x menos h) ao quadrado mais (y menos k) ao quadrado igual a r ao quadrado com termos sensíveis ao sinal, de modo que uma coordenada de centro negativa se lê como mais e não como um duplo menos.
Exemplo: centro na origem e ponto três quatro produz raio cinco e a equação familiar x ao quadrado mais y ao quadrado igual a vinte e cinco. Exemplo com centro deslocado: h igual a dois, k igual a menos um, ponto cinco quatro produz raio cinco e (x menos dois) ao quadrado mais (y mais um) ao quadrado igual a vinte e cinco.
Se você precisa de um círculo por três pontos sem centro conhecido, use a ferramenta dedicada de três pontos; se já conhece o raio e só quer as formas da equação, use a calculadora de equação do círculo. A intenção de busca aqui é especificamente centro mais um ponto da circunferência para raio e equação padrão, ou um erro claro quando o ponto não é distinto do centro.
Contrato de entrada, erro quando o ponto é o centro e como as equações são escritas
Valores absolutos maiores que um trilhão são rejeitados para que erros de unidade não produzam raios absurdos. Após o parse, o motor calcula a distância euclidiana do centro ao ponto. Essa falha não é cobrada e é a resposta correta em sala de aula, não um zero silencioso.
No sucesso, os números são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes, e as strings de equação usam formatação compacta sem ruído final. A forma padrão prefere x ao quadrado quando h é zero e (x mais a) ao quadrado quando h é negativo, para que o estudante copie a string sem corrigir sinais duplos.
A forma geral expande D igual a menos dois h, E igual a menos dois k e F igual a h ao quadrado mais k ao quadrado menos r ao quadrado, útil quando uma ferramenta a jusante espera o polinômio mônico expandido.
Onde este cálculo do círculo é útil
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de círculo a partir do centro e de um ponto para que os alunos verifiquem raio e forma padrão com centros arbitrários sem erros de sinal. Geradores de provas precisam de um oráculo determinístico que marque como errado o caso em que o ponto dado é o centro, em vez de imprimir uma equação de raio zero que um corretor defeituoso poderia aceitar.
Equipes de jogos e simulação posicionam luzes, sensores ou círculos de colisão a partir de um centro conhecido e uma amostra de contorno, e querem a string de equação ou o raio para overlays de depuração. Validação falha não consome saldo. Mantenha as requisições pequenas, fixe nos testes o raio arredondado e as strings de equação, e você obtém dados de círculo reproduzíveis para lições, plugins LMS e workers de borda sem levantar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Casos de uso
Checagens de lição de casa e provas
Informe o centro e um ponto da circunferência para verificar o raio e a equação padrão (x−h)²+(y−k)²=r², incluindo a rejeição quando o ponto coincide com o centro.
Círculos em CAD, layout e jogos
Construa um círculo a partir de um centro conhecido e de um ponto de encaixe ou de contorno para folgas, recortes, luzes ou raios de colisão em ferramentas e simulações.
Perguntas frequentes
Como obter a equação do círculo a partir do centro e de um ponto?
Envie números finitos h, k para o centro e x, y para um ponto da circunferência.
O que acontece se o ponto coincidir com o centro?
Um ponto no centro forçaria raio zero, que aqui não é tratado como círculo válido, e a entrada inválida não é cobrada.
Como o raio é calculado a partir do centro e de um ponto?
É a distância em linha reta entre os dois: a raiz quadrada da diferença horizontal ao quadrado mais a vertical ao quadrado. Com centro na origem e ponto (3, 4), o raio é exatamente 5.
A calculadora também dá a forma geral da equação?
Sim. Ela desenvolve a forma padrão em x² + y² + Dx + Ey + F igualado a zero, em que D é menos duas vezes h, E é menos duas vezes k e F é h² + k² − r², e mostra D, E e F separados.
Como ficam as coordenadas negativas do centro na equação?
Com sinal de mais, como no livro didático: um centro com x negativo aparece como (x + a)², sem sinal de menos duplo. Você pode copiar a equação para a tarefa sem corrigir os sinais.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-from-center-point \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"h":0,"k":0,"x":3,"y":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-from-center-point", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"h": 0,
"k": 0,
"x": 3,
"y": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-from-center-point",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"h": 0,
"k": 0,
"x": 3,
"y": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-from-center-point", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"h":0,"k":0,"x":3,"y":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"h":0,"k":0,"x":3,"y":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-from-center-point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"h": 0,
"k": 0,
"x": 3,
"y": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.circle_from_center_point",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Se o ponto coincidir com o centro o raio seria zero e não descreve um círculo, por isso a ferramenta falha com invalid_input em vez de inventar um resultado degenerado.
O que o centro mais um ponto da circunferência determina e o que a resposta contém
A resposta ecoa as quatro entradas, devolve objetos center e point, radius, radius_squared, diameter, standard_equation, general_equation na forma x ao quadrado mais y ao quadrado mais D x mais E y mais F igual a zero, os coeficientes gerais D E F e uma string curta de fórmula que reafirma a identidade da distância. Campos ausentes, valores não finitos e magnitudes fora da faixa geram invalid_input nomeando o campo.
Contrato de entrada, erro quando o ponto é o centro e como as equações são escritas
Envie um corpo JSON com POST contendo quatro números finitos obrigatórios: h (aliases cx, center_x), k (aliases cy, center_y), x (aliases px, point_x) e y (aliases py, point_y). Cada campo pode chegar como número JSON ou como string decimal adequada a formulários e planilhas; strings vazias, Infinity, NaN e texto não numérico falham com invalid_input. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado sem reimplementar distância e expansão. Distâncias quase nulas mas não nulas ainda produzem um círculo minúsculo válido; só a coincidência exata de centro e ponto é rejeitada como invalid_input.
Onde uma API de círculo a partir do centro e de um ponto agrega valor
Como a implementação é parse puro de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Quer você tenha chegado buscando o raio a partir do centro e de um ponto ou a equação padrão de um círculo dados o centro e um ponto da borda, o contrato é o mesmo: quatro coordenadas na entrada, um raio positivo e equações legíveis na saída, ou um invalid_input claro quando o ponto não é distinto do centro.
Casos de integração
Fixtures geométricos determinísticos
Gere strings de raio e equação reproduzíveis para testes unitários, validadores de competição e CI sem código artesanal de distância e expansão.
Perguntas técnicas
Quais formas de equação são devolvidas?
standard_equation na forma centro-raio e general_equation como x²+y²+Dx+Ey+F=0, além dos coeficientes D, E, F, do diâmetro e de radius_squared.
Posso usar aliases como cx e point_x?
Sim. O centro aceita h, cx ou center_x e k, cy ou center_y. O ponto da circunferência aceita x, px ou point_x e y, py ou point_y.
Quanto custa a calculadora de círculo a partir do centro e de um ponto?
A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.