Calculadora de equação do círculo: forma padrão e geral
Converta um centro e um raio nas equações padrão e geral do círculo, ou volte a partir da forma geral: raio 5 na origem dá x² + y² = 25, área de 25π e circunferência de 10π. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- H
- 0
- K
- 0
- Resistência (Ω)
- 5
- R ao quadrado
- 25
- Diâmetro
- 10
- Área
- 78,5398163397
- Circunferência
- 31,4159265359
Uma calculadora de equação do círculo transforma as entradas geométricas que você já tem nas duas formas algébricas que estudantes e engenheiros realmente escrevem. Informe um centro e um raio positivo, ou cole a forma geral x ao quadrado mais y ao quadrado mais Dx mais Ey mais F igual a zero, e você obtém a equação padrão centrada em h e k, os coeficientes gerais expandidos, além da área e da circunferência a partir do mesmo raio recuperado. Checagens de lição, notas de CAD, configuração de colisão em jogos e preparação para entrevistas precisam desses quatro resultados lado a lado sem abrir um sistema de álgebra computacional.
O que as equações padrão e geral do círculo significam
A forma padrão de um círculo se escreve como o quadrado de x menos h mais o quadrado de y menos k igual a r ao quadrado. Aqui h e k são as coordenadas do centro e r é o raio positivo. Expandir essa identidade produz a forma geral x ao quadrado mais y ao quadrado mais Dx mais Ey mais F igual a zero, onde D vale menos dois h, E vale menos dois k e F vale h ao quadrado mais k ao quadrado menos r ao quadrado.
O caminho inverso é igualmente mecânico: a partir dos coeficientes gerais, o centro é h igual a menos D sobre dois e k igual a menos E sobre dois, e o raio é a raiz quadrada positiva de h ao quadrado mais k ao quadrado menos F. Se esse radicando for zero ou negativo, a equação é um ponto ou não há círculo real, e esta ferramenta rejeita a entrada em vez de inventar um raio imaginário.
A área é pi vezes r ao quadrado e a circunferência é dois pi r — as mesmas fórmulas da escola —, de modo que um círculo unitário na origem gera área pi e circunferência dois pi, enquanto um círculo de raio cinco centrado na origem gera área vinte e cinco pi e circunferência dez pi.
Conhecer as duas formas algébricas importa porque livros, problemas de competição e rubricas de avaliação alternam livremente entre elas: um exercício pode pedir para completar o quadrado a partir da forma geral, e o seguinte para expandir a forma padrão em coeficientes para um CAS ou um shader gráfico.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Sempre rejeite raio zero ou negativo em scripts de lição em vez de fixar, porque área e circunferência perdem sentido fora de círculos e fixações silenciosas escondem erros de álgebra. Esta página se destina a quem busca uma calculadora de equação do círculo, forma padrão de um círculo ou conversor de forma geral; não é um ajuste de círculo por três pontos nem um solucionador de interseção reta-círculo.
Prefira centro mais raio quando você mediu ou recebeu o centro e o raio; prefira a forma geral quando um livro ou CAS entregou coeficientes expandidos. Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver a partir da forma geral, reexpanda D, E e F a partir de h, k e r e confirme que coincidem dentro da tolerância de ponto flutuante, e confirme que a área sobre pi é igual a r ao quadrado.
Casos de uso
Checagem de lição de forma padrão e geral do círculo
Os alunos informam centro e raio ou coeficientes expandidos e comparam à mão a forma padrão, a geral, a área e a circunferência com um resultado determinístico.
Notas de CAD e takeoff de construção a partir de centros conhecidos
Converta um centro e raio levantados em ambas as formas algébricas e em área e circunferência de forma fechada para especificações, listas de materiais ou folhas de quantidade.
Configuração de colisores circulares em jogos e gráficos
Recupere h, k, r a partir de coeficientes de shader ou física em forma geral, ou expanda um par centro-raio voltado ao designer em strings de equação para sobreposições de depuração.
Perguntas frequentes
Qual é a forma padrão de um círculo?
A forma padrão é (x − h)² + (y − k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio positivo.
Qual é a forma geral de um círculo?
O centro é h = −D/2, k = −E/2, e r = sqrt(h² + k² − F) quando esse radicando é positivo.
Por que um raio não positivo é rejeitado?
Um círculo precisa de r > 0 para área e circunferência positivas. Zero descreve um ponto; raio negativo não é um círculo real.
Posso enviar só o raio sem um centro?
Sim. Se r for fornecido e h e k forem omitidos, o centro assume por padrão (0, 0), o caso de origem unitária que muitos livros usam primeiro.
A calculadora de equação do círculo é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"h":0,"cx":-1000000000000}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"h": 0,
"cx": -1000000000000
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"h": 0,
"cx": -1000000000000
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"h":0,"cx":-1000000000000}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"h":0,"cx":-1000000000000}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/circle-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"h": 0,
"cx": -1000000000000
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.circle_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O caminho de resolução é aritmética pura determinística — sem rede, sem sementes aleatórias, sem dependência do relógio de parede —, de modo que a ferramenta gratuita do navegador e a API pré-paga devolvem o mesmo JSON após o arredondamento decimal fixo toda vez que você a chama.
Como chamar a API e o que retorna
Quando r está presente, o modo centro mais raio vence mesmo se coeficientes gerais também forem enviados. Envie um corpo JSON em um de dois modos. O modo centro mais raio usa o campo r para o raio positivo (alias radius) e os campos opcionais h e k para o centro; os alias cx, center_x, cy e center_y são aceitos, e coordenadas de centro omitidas valem zero por padrão, de modo que um raio sozinho descreve um círculo na origem. O modo forma geral omite r e envia d, e e f para os coeficientes D, E e F em x ao quadrado mais y ao quadrado mais Dx mais Ey mais F igual a zero; os alias D, E, F e coeff_d, coeff_e, coeff_f mapeiam para os mesmos campos. Em caso de sucesso, a resposta ecoa h, k e r, adiciona r_squared, diameter, area, circumference, um objeto aninhado center, um objeto aninhado general com D, E e F, strings legíveis standard_equation e general_equation, method definido como center_radius ou general_form, e um bloco curto de fórmula documentando as formas fechadas. Validação falha — faltam ambos os modos, número não finito, raio não positivo, coeficientes que geram raio não positivo, ou valores fora dos limites absolutos publicados — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com item unitário e preço marginal unitário zero.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha coordenadas, coeficientes e o raio dentro do intervalo absoluto publicado até um trilhão para que os produtos intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você passar — metros, pixels ou unidades abstratas de jogo — desde que seja consistente; a API não converte unidades para você. Ao ensinar, emparelhe exemplos: raio cinco na origem para a forma padrão clássica x ao quadrado mais y ao quadrado igual a vinte e cinco; centro três quatro com raio cinco para um círculo transladado; e coeficientes de forma geral que se expandam de volta às mesmas figuras para os alunos completarem o quadrado à mão e confrontarem a API linha a linha. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando aprendizes digitaram coeficientes impossíveis.