Elipse: forma geral para padrão
Digite os seis coeficientes de uma equação geral do segundo grau e receba a elipse na forma padrão: x² + 4y² − 4 = 0 vira uma elipse centrada na origem com semieixos 2 e 1. Se estiver girada, o ângulo também aparece. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- 0
- C
- 4
- D
- 0
- E
- 0
- F
- -4
- H
- 0
- K
- 0
- Semieixo maior
- 2
- Semieixo menor
- 1
Livros didáticos, problemas de concurso e saídas de CAS costumam entregar uma cônica geral confusa A x ao quadrado mais B x y mais C y ao quadrado mais D x mais E y mais F igual a zero e pedir a elipse na forma padrão. Completar o quadrado à mão funciona bem quando B é zero e os números são amigáveis; é fácil errar se o centro não está na origem, se os eixos se trocam ou se um termo xy não nulo significa que a figura está rotacionada. Esta calculadora de elipse da forma geral para a padrão recebe os seis coeficientes, verifica se o discriminante B ao quadrado menos quatro A C é negativo, resolve o centro único, diagonaliza a forma quadrática e devolve os semieixos maior e menor, o ângulo de rotação, as equações padrão e geral legíveis e um bloco curto de fórmulas.
Dos coeficientes cónicos gerais à forma padrão da elipse
A equação geral de segundo grau em duas variáveis é A x ao quadrado mais B x y mais C y ao quadrado mais D x mais E y mais F igual a zero. Seu tipo é governado pelo discriminante delta igual a B ao quadrado menos quatro A C: negativo para tipo elipse, zero para tipo parábola e positivo para tipo hipérbole.
O tipo elipse sozinho não basta —o lugar ainda pode ser um único ponto, vazio ou degenerado—, por isso esta calculadora também recupera o centro resolvendo o sistema linear das derivadas parciais, avalia o termo constante transladado g nesse centro e lê os quadrados dos semieixos a partir dos autovalores da matriz da forma quadrática. Após a translação a equação torna-se A X ao quadrado mais B X Y mais C Y ao quadrado mais g igual a zero.
Os autovalores lambda um e lambda dois da matriz com A e C na diagonal e B sobre dois fora dela satisfazem lambda i vezes a coordenada ao quadrado ao longo de cada eixo principal igual a menos g, de modo que cada semieixo ao quadrado é menos g sobre lambda i. Ambas as quantidades devem ser estritamente positivas para uma elipse real não degenerada; caso contrário a solicitação é rejeitada.
Quando B é zero os eixos alinham-se ao referencial de coordenadas e aparece a forma familiar ao completar o quadrado: X ao quadrado sobre a ao quadrado mais Y ao quadrado sobre b ao quadrado igual a um, com centro h e k. Quando B não é zero, uma rotação de ângulo theta alinha a figura aos eixos principais, e a resposta informa esse ângulo em graus e radianos junto com a equação padrão nas coordenadas rotacionadas.
Um círculo é o caso especial em que os dois semieixos coincidem; a rotação é então reportada como zero porque todo ângulo é equivalente. Conhecer tanto os coeficientes gerais quanto a geometria padrão importa porque rubricas de correção, notas de CAD e uniforms de shader alternam livremente entre polinômios expandidos e descrições por centro e eixos.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Em seguida desloque a mesma figura para que o centro fique em um negativo dois e verifique se completar o quadrado à mão coincide com h, k e ambos os semieixos. Quando um problema inclui um termo xy, confie na rotação e nos semieixos principais informados em vez de tentar adivinhar a orientação só a partir de um esboço; a convenção de autovetores normaliza o ângulo do eixo maior num intervalo estável de meia volta para que chamadas repetidas não invertam o sinal sem motivo.
Mantenha as unidades consistentes —metros, pixels ou unidades abstratas de jogo— porque a calculadora nunca converte unidades por você. Trate sempre não elipses como falhas rígidas em corretores automáticos: uma hipérbole com discriminante positivo não deve ser aceita como elipse achatada, e um lugar pontual não deve ser reportado como eixos de raio zero.
Esta página visa quem busca uma calculadora de elipse da forma geral para a padrão, um conversor de coeficientes cónicos ou centro e semieixos de elipse a partir de A B C D E F; não é um ajuste de elipse por três pontos, nem um classificador multi-cónico com gráficos, nem um substituto de listas de passos de um CAS simbólico.
Verificações de ida e volta são fáceis após um sucesso: reconstrua o polinômio geral a partir da geometria recuperada quando B é zero e confirme que os coeficientes batem dentro da tolerância flutuante, e confirme que a área pi vezes semieixo maior vezes semieixo menor é positiva.
Casos de uso
Checagem de lição de casa da elipse geral para padrão
Estudantes colam coeficientes do livro e comparam quadrados completados à mão e ângulos de rotação com centro, semieixos e equação padrão determinísticos.
Limpeza CAD e gráfica de cônicas expandidas
Recupere centro, semieixo maior, semieixo menor e rotação a partir de polinômios de shader ou exportação expandidos para que colisores e ferramentas de desenho usem parâmetros de elipse padrão.
Perguntas frequentes
Quando a entrada é rejeitada por não ser uma elipse?
Quando B² − 4AC não é negativo (tipo parábola ou hipérbole), quando o centro não pode ser resolvido, ou quando ambos os semieixos ao quadrado não são estritamente positivos (lugar pontual ou imaginário).
Um B não nulo (termo xy) funciona?
Sim. O solucionador diagonaliza a forma quadrática, informa a rotação do eixo principal e escreve a forma padrão nas coordenadas rotacionadas.
A calculadora é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente no mesmo módulo puro.
O que o discriminante indica?
B ao quadrado menos quatro vezes A vezes C classifica a curva: negativo é tipo elipse, zero é parábola e positivo é hipérbole. Para x² + 4y² − 4 = 0 ele vale −16, então pode ser uma elipse.
O que recebo além da equação padrão?
O centro, os semieixos maior e menor com seus quadrados, o ângulo de rotação em graus e radianos e a equação geral reescrita, para você copiar a forma que o exercício ou o desenho pede.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.ellipse_standard_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Hipérboles, parábolas, elipses pontuais e lugares imaginários falham com invalid_input em vez de inventar eixos.
Como chamar a API e o que volta na resposta
Os números são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes. Envie um corpo JSON com seis números finitos obrigatórios a, b, c, d, e e f para os coeficientes A, B, C, D, E e F em A x ao quadrado mais B x y mais C y ao quadrado mais D x mais E y mais F igual a zero. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; os aliases A até F e coeff_a até coeff_f mapeiam para as mesmas seis posições, para que clientes que já usam notação matemática em maiúsculas não precisem de uma camada de renomeação. Os valores absolutos devem permanecer dentro do limite publicado de um trilhão para que produtos intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. Em sucesso a resposta ecoa os seis coeficientes, devolve h e k mais um objeto center aninhado, semi_major e semi_minor com seus quadrados, rotation_deg e rotation_rad, is_circle, o discriminante cónico, as strings legíveis standard_equation e general_equation, e um objeto formula documentando as formas fechadas. Validação falha —campos ausentes, valores não finitos, magnitudes fora da faixa, discriminante não negativo, matriz quadrática singular ou coeficientes que não geram dois semieixos ao quadrado positivos— retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um valor fixo US$ 0,002 por pedido bem-sucedido com unidade item. Prefira este endpoint quando a entrada já for coeficientes expandidos; se você já tem o centro e os semieixos e só precisa de focos ou perímetro, use as ferramentas dedicadas de focos de elipse ou perímetro de Ramanujan em vez de forçar um desvio pela forma geral.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Comece com uma elipse de livro alinhada aos eixos, como x ao quadrado sobre quatro mais y ao quadrado igual a um, que se expande para x ao quadrado mais quatro y ao quadrado menos quatro igual a zero, e confirme que a API devolve centro na origem, semieixo maior dois, semieixo menor um e rotação zero. Tarefas com falha que retornam invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém scripts exploratórios baratos quando aprendizes digitam coeficientes impossíveis, a US$ 0,002 apenas em sucesso.
Casos de integração
Geradores de prova e corretores automáticos LMS
Oráculo que aceita apenas elipses reais não degeneradas e rejeita hipérboles, parábolas e lugares pontuais com invalid_input para scripts de correção reproduzíveis.
Perguntas técnicas
Quais entradas a calculadora de elipse da forma geral para a padrão precisa?
Seis coeficientes finitos a, b, c, d, e, f para Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Os aliases A–F e coeff_a–coeff_f são aceitos.
O que é devolvido em caso de sucesso?
Centro (h, k), semi_major, semi_minor, rotação em graus e radianos, is_circle, discriminant, standard_equation, general_equation, coeficientes ecoados e um bloco curto de fórmulas.