Ellisse: da forma generale a standard

I manuali, i problemi di gara e le uscite di un CAS spesso le consegnano una conica generale disordinata A x al quadrato più B x y più C y al quadrato più D x più E y più F uguale a zero e chiedono l'ellisse in forma standard. Completare il quadrato a mano va bene quando B è zero e i numeri sono comodi; è facile sbagliare se il centro non è nell'origine, se gli assi si scambiano o se un termine xy non nullo significa che la figura è ruotata. Questo calcolatore di ellisse dalla forma generale a quella standard prende i sei coefficienti, verifica che il discriminante B al quadrato meno quattro A C sia negativo, risolve il centro unico, diagonalizza la forma quadratica e restituisce i semiassi maggiore e minore, l'angolo di rotazione, le equazioni standard e generale leggibili e un breve blocco di formule.

Dai coefficienti conici generali alla forma standard dell'ellisse

L'equazione generale di secondo grado in due variabili è A x al quadrato più B x y più C y al quadrato più D x più E y più F uguale a zero. Il tipo è governato dal discriminante delta uguale a B al quadrato meno quattro A C: negativo per il tipo ellisse, zero per il tipo parabola e positivo per il tipo iperbole.

Il solo tipo ellisse non basta —il luogo può ancora essere un punto singolo, vuoto o degenere—, perciò questo calcolatore recupera anche il centro risolvendo il sistema lineare dalle derivate parziali, valuta il termine costante traslato g in quel centro e legge i quadrati dei semiassi dagli autovalori della matrice della forma quadratica. Dopo la traslazione l'equazione diventa A X al quadrato più B X Y più C Y al quadrato più g uguale a zero.

Gli autovalori lambda uno e lambda due della matrice con A e C sulla diagonale e B su due fuori diagonale soddisfano lambda i per la coordinata al quadrato lungo ciascun asse principale uguale a meno g, così ogni semiasse al quadrato è meno g su lambda i. Entrambe le quantità devono essere strettamente positive per un'ellisse reale non degenere; altrimenti la richiesta viene rifiutata.

Quando B è zero gli assi si allineano al sistema di coordinate e compare la forma familiare completando il quadrato: X al quadrato su a al quadrato più Y al quadrato su b al quadrato uguale a uno, con centro h e k. Quando B non è zero, una rotazione di angolo theta allinea la figura ai suoi assi principali e la risposta riporta quell'angolo in gradi e radianti insieme all'equazione standard nelle coordinate ruotate.

Un cerchio è il caso speciale in cui i due semiassi coincidono; la rotazione è allora riportata come zero perché ogni angolo è equivalente. Conoscere sia i coefficienti generali sia la geometria standard conta perché rubriche di valutazione, note CAD e uniform di shader alternano liberamente polinomi espansi e descrizioni per centro e assi.

Consigli pratici, limiti e ricerche correlate

Poi sposti la stessa figura così che il centro sia in uno negativo due e verifichi che completare il quadrato a mano coincida con h, k e entrambi i semiassi. Quando un problema include un termine xy, si fidi della rotazione e dei semiassi principali riportati piuttosto che indovinare l'orientamento da un solo schizzo; la convenzione degli autovettori normalizza l'angolo dell'asse maggiore in un intervallo stabile di mezzo giro così chiamate ripetute non invertano il segno senza motivo.

Mantenga unità coerenti —metri, pixel o unità di gioco astratte— perché il calcolatore non converte mai le unità per Lei. Tratti sempre le non ellissi come fallimenti netti nei correttori automatici: un'iperbole con discriminante positivo non deve essere accettata come ellisse appiattita, e un luogo puntiforme non deve essere riportato come assi di raggio zero.

Questa pagina intercetta chi cerca un calcolatore ellisse da forma generale a standard, un convertitore di coefficienti conici o centro e semiassi dell'ellisse da A B C D E F; non è un adattamento di ellisse per tre punti, né un classificatore multi-conico con grafici, né un sostituto delle liste di passi di un CAS simbolico.

I controlli andata-ritorno sono semplici dopo un successo: ricostruisca il polinomio generale dalla geometria recuperata quando B è zero e confermi che i coefficienti coincidono entro la tolleranza floating, e confermi che l'area pi per semiasse maggiore per semiasse minore è positiva.