Elipse: de forma general a estándar
Escriba los seis coeficientes de una ecuación general de segundo grado y obtenga la elipse en forma estándar: x² + 4y² − 4 = 0 resulta ser una elipse centrada en el origen con semiejes 2 y 1. Si está girada, también recibe el ángulo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- 0
- C
- 4
- D
- 0
- E
- 0
- F
- -4
- H
- 0
- K
- 0
- Semieje mayor
- 2
- Semieje menor
- 1
Los libros de texto, los problemas de concurso y las salidas de un CAS suelen presentar una cónica general desordenada A x al cuadrado más B x y más C y al cuadrado más D x más E y más F igual a cero y pedir la elipse en forma estándar. Completar el cuadrado a mano funciona bien cuando B es cero y los números son cómodos; es fácil equivocarse si el centro no está en el origen, si los ejes se intercambian o si un término xy no nulo implica que la figura está rotada. Esta calculadora de elipse de forma general a estándar toma los seis coeficientes, comprueba que el discriminante B al cuadrado menos cuatro A C es negativo, resuelve el centro único, diagonaliza la forma cuadrática y devuelve los semiejes mayor y menor, el ángulo de rotación, las ecuaciones estándar y general legibles, y un bloque breve de fórmulas.
De los coeficientes cónicos generales a la forma estándar de la elipse
La ecuación general de segundo grado en dos variables es A x al cuadrado más B x y más C y al cuadrado más D x más E y más F igual a cero. Su tipo lo rige el discriminante delta igual a B al cuadrado menos cuatro A C: negativo para tipo elipse, cero para tipo parábola y positivo para tipo hipérbola.
El tipo elipse por sí solo no basta —el lugar puede ser un solo punto, vacío o degenerado—, por eso esta calculadora también recupera el centro resolviendo el sistema lineal de las derivadas parciales, evalúa el término constante trasladado g en ese centro y lee los cuadrados de los semiejes a partir de los autovalores de la matriz de la forma cuadrática. Tras la traslación la ecuación queda A X al cuadrado más B X Y más C Y al cuadrado más g igual a cero.
Los autovalores lambda uno y lambda dos de la matriz con A y C en la diagonal y B entre dos fuera de ella cumplen que lambda i por la coordenada al cuadrado a lo largo de cada eje principal es igual a menos g, de modo que cada semieje al cuadrado es menos g entre lambda i. Ambas cantidades deben ser estrictamente positivas para una elipse real no degenerada; en caso contrario se rechaza la petición.
Cuando B es cero los ejes se alinean con el marco de coordenadas y aparece la forma clásica al completar el cuadrado: X al cuadrado sobre a al cuadrado más Y al cuadrado sobre b al cuadrado igual a uno, con centro h y k. Cuando B no es cero, una rotación de ángulo theta alinea la figura con sus ejes principales, y la respuesta informa ese ángulo en grados y radianes junto con la ecuación estándar en las coordenadas rotadas.
Un círculo es el caso especial en que ambos semiejes coinciden; entonces la rotación se informa como cero porque todo ángulo es equivalente. Conocer tanto los coeficientes generales como la geometría estándar importa porque las rúbricas de calificación, las notas de CAD y los uniformes de sombreado alternan libremente entre polinomios expandidos y descripciones por centro y ejes.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Luego desplace la misma figura para que el centro quede en uno negativo dos y verifique que completar el cuadrado a mano coincide con h, k y ambos semiejes. Cuando un problema incluye un término xy, confíe en la rotación y los semiejes principales informados en lugar de adivinar la orientación solo a partir de un croquis; la convención de autovectores normaliza el ángulo del eje mayor en un rango de medio giro estable para que llamadas repetidas no inviertan el signo sin motivo.
Mantenga las unidades coherentes —metros, píxeles o unidades abstractas de juego— porque la calculadora nunca convierte unidades por usted. Trate siempre las no elipses como fallos duros en autoevaluadores: una hipérbola con discriminante positivo no debe aceptarse como elipse aplanada, y un lugar puntual no debe informarse como ejes de radio cero.
Esta página apunta a quienes buscan una calculadora de elipse de forma general a estándar, un conversor de coeficientes cónicos o el centro y semiejes de una elipse a partir de A B C D E F; no es un ajuste de elipse por tres puntos, ni un clasificador multi-cónico con gráficos, ni un sustituto de listas de pasos de un CAS simbólico.
Las comprobaciones de ida y vuelta son sencillas tras un éxito: reconstruya el polinomio general a partir de la geometría recuperada cuando B es cero y confirme que los coeficientes coinciden dentro de la tolerancia flotante, y confirme que el área pi por semieje mayor por semieje menor es positiva.
Qué puede hacer con ella
Comprobación de deberes de elipse de general a estándar
El alumnado pega los coeficientes del libro y compara los cuadrados completados a mano y los ángulos de rotación con un centro, semiejes y ecuación estándar deterministas.
Limpieza CAD y gráfica de cónicas expandidas
Recupere centro, semieje mayor, semieje menor y rotación a partir de polinomios de sombreado o de exportación expandidos para que colisionadores y herramientas de dibujo usen parámetros de elipse estándar.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se rechaza la entrada por no ser una elipse?
Cuando B² − 4AC no es negativo (tipo parábola o hipérbola), cuando no se puede resolver el centro, o cuando ambos semiejes al cuadrado no son estrictamente positivos (lugar puntual o imaginario).
¿Funciona un B no nulo (término xy)?
Sí. El solucionador diagonaliza la forma cuadrática, informa la rotación del eje principal y escribe la forma estándar en las coordenadas rotadas.
¿Es gratuita la calculadora?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local con el mismo módulo puro.
¿Qué indica el discriminante?
B al cuadrado menos cuatro veces A por C clasifica la curva: negativo es tipo elipse, cero una parábola y positivo una hipérbola. Para x² + 4y² − 4 = 0 vale −16, así que puede tratarse de una elipse.
¿Qué obtengo además de la ecuación estándar?
El centro, los semiejes mayor y menor con sus cuadrados, el ángulo de giro en grados y en radianes, y la ecuación general reescrita, para que copie la forma que pida su ejercicio o su plano.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": 0,
"c": 4,
"d": 0,
"e": 0,
"f": -4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.ellipse_standard_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Las hipérbolas, parábolas, elipses puntuales y lugares imaginarios fallan con invalid_input en lugar de inventar ejes.
Cómo llamar a la API y qué recibe de vuelta
Los números se redondean a doce decimales para goldens estables entre entornos de ejecución. Prefiera este extremo cuando su entrada ya son coeficientes expandidos; si ya tiene el centro y los semiejes y solo necesita focos o perímetro, use las herramientas dedicadas de focos de elipse o perímetro de Ramanujan en lugar de forzar un rodeo por la forma general. Envíe un cuerpo JSON con seis números finitos obligatorios a, b, c, d, e y f para los coeficientes A, B, C, D, E y F en A x al cuadrado más B x y más C y al cuadrado más D x más E y más F igual a cero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; los alias A a F y coeff_a a coeff_f se asignan a las mismas seis ranuras, de modo que los clientes que ya usan notación matemática en mayúsculas no necesitan una capa de renombrado. Los valores absolutos deben permanecer dentro del límite publicado de un billón para que los productos intermedios sigan siendo finitos en precisión doble IEEE en el Worker y en el navegador. En caso de éxito la respuesta repite los seis coeficientes, devuelve h y k más un objeto center anidado, semi_major y semi_minor con sus cuadrados, rotation_deg y rotation_rad, is_circle, el discriminante cónico, las cadenas legibles standard_equation y general_equation, y un objeto formula que documenta las formas cerradas. Una validación fallida —campos ausentes, valores no finitos, magnitudes fuera de rango, discriminante no negativo, matriz cuadrática singular o coeficientes que no producen dos semiejes al cuadrado positivos— devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un fijo $0.002 por petición exitosa con unidad item.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Comience con una elipse de libro alineada con los ejes, por ejemplo x al cuadrado entre cuatro más y al cuadrado igual a uno, que se expande a x al cuadrado más cuatro y al cuadrado menos cuatro igual a cero, y confirme que la API devuelve el centro en el origen, semieje mayor dos, semieje menor uno y rotación cero. Las tareas fallidas que devuelven invalid_input no consumen saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando el alumnado escribe coeficientes imposibles, a $0.002 solo en caso de éxito.
Casos de integración
Generadores de exámenes y autoevaluadores LMS
Oráculo que acepta solo elipses reales no degeneradas y rechaza hipérbolas, parábolas y lugares puntuales con invalid_input para scripts de corrección reproducibles.
Preguntas técnicas
¿Qué entradas necesita la calculadora de elipse de forma general a estándar?
Seis coeficientes finitos a, b, c, d, e, f para Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Se aceptan los alias A–F y coeff_a–coeff_f.
¿Qué se devuelve en caso de éxito?
Centro (h, k), semi_major, semi_minor, rotación en grados y radianes, is_circle, discriminant, standard_equation, general_equation, coeficientes eco y un bloque breve de fórmulas.