Forma canónica de la elipse: centro, semiejes y rotación
4x² + 9y² − 8x − 18y − 23 = 0 es una elipse con centro en (1, 1), semiejes 3 y 2 y sin giro. Escriba los seis coeficientes de una ecuación general y obtenga su centro, sus semiejes y su inclinación. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 4
- B
- 0
- C
- 9
- D
- -8
- E
- -18
- F
- -23
- Semieje mayor
- 3
- Semieje menor
- 2
- Rotación (°)
- 0
Si los coeficientes describen una hipérbola, una parábola, un solo punto o ninguna curva real, la petición se rechaza con un error claro en lugar de una respuesta sin sentido. La conversión es álgebra exacta: completar el cuadrado para el centro y una descomposición en valores propios de la forma cuadrática para los ejes. El mismo código se ejecuta gratis en su navegador en esta página.
De la ecuación general a la forma canónica
Pasar de una a otra son dos pasos. Primero, hallar el centro resolviendo el sistema lineal 2A·h + B·k = −D y B·h + 2C·k = −E — es el punto donde ambas derivadas parciales se anulan, y completar el cuadrado en torno a él elimina los términos lineales. Segundo, eliminar el término cruzado B·x·y.
Cuando B es cero la elipse ya está alineada con los ejes y los semiejes se obtienen directamente al dividir la constante restante; cuando B no es cero, la parte cuadrática es una matriz simétrica 2×2 cuyos valores propios dan los denominadores al cuadrado y cuyos vectores propios dan el ángulo de rotación.
Cómo se comprueba que de verdad es una elipse
La misma ecuación de seis coeficientes puede describir cualquier cónica, así que la validación precede a la conversión. La cantidad clave es el discriminante B² − 4AC.
Un discriminante negativo es necesario pero no suficiente: tras trasladar al centro, el término constante debe ser distinto de cero — si no, la ecuación solo se cumple en el propio centro, una elipse degenerada en un punto — y debe tener el signo opuesto al de la parte cuadrática, pues de lo contrario ningún punto real satisface la ecuación, la llamada elipse imaginaria. Ambos casos se rechazan con un mensaje que nombra el fallo.
Solo cuando las tres comprobaciones pasan, la respuesta incluye el centro, los semiejes mayor y menor, y la rotación del eje mayor en grados, normalizada al intervalo semiabierto de 0 a 180 porque la dirección de un eje no tiene orientación. Semiejes iguales significan que la elipse es un círculo, algo que la respuesta indica explícitamente.
Dónde se usa y cuánto cuesta
Las cónicas en forma general aparecen dondequiera que se ajusten o intersequen curvas algebraicamente: el ajuste de elipses por mínimos cuadrados en visión artificial devuelve exactamente estos seis coeficientes, igual que las formas de colisión en los motores de física, las huellas de antena en los presupuestos de enlace por satélite y las elipses de confianza de una matriz de covarianza en estadística.
En todos los casos, la forma canónica es lo que realmente necesita después — para dibujar la curva, comprobar si un punto está dentro, calcular el área o la excentricidad —, y hacer la conversión a mano supone rehacer con cuidado el cálculo de valores propios cada vez. La llamada se ejecuta en nuestro edge global, no guarda nada y no contiene aleatoriedad ni dependencia del reloj, por lo que es seguro cachearla y memoizarla.
Prototipe gratis y pague solo cuando automatice: conversión por lotes de cónicas ajustadas, validación dentro de un pipeline gráfico o una aplicación que necesite la forma canónica bajo demanda.
Qué puede hacer con ella
Leer la geometría de una cónica ajustada
Los algoritmos de ajuste de elipses en visión y metrología devuelven los seis coeficientes generales; conviértalos a centro, ejes y rotación en una sola llamada.
Clasificar una cónica con seguridad
Introduzca cualquier cuadrática y sepa si es una elipse real, una hipérbola, una parábola o un caso degenerado — a partir de un error claro, no de un NaN.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
El mismo cálculo es gratis en su navegador en esta página.
¿Qué forma de ecuación acepta?
Envíe los seis coeficientes en los campos de la a a la f.
¿Cómo se define el ángulo de rotación?
Es el ángulo en grados del eje mayor medido desde el eje x positivo, normalizado a [0, 180) porque la dirección de un eje no tiene orientación. Para un círculo el ángulo es arbitrario y la respuesta lo indica.
¿Qué precisión tiene el resultado?
La conversión es álgebra en forma cerrada — completar el cuadrado más una descomposición propia 2×2 —, exacta salvo por la coma flotante, con la salida redondeada a seis decimales para respuestas estables a nivel de bytes.
¿Se almacena algo?
No. Los coeficientes se procesan y se descartan; solo se devuelve el resultado.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.ellipse_standard_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La API de forma canónica de la elipse toma los seis coeficientes de una ecuación cuadrática general — A·x² más B·x·y más C·y² más D·x más E·y más F igual a cero — y devuelve la elipse que describe en forma canónica: el centro, los semiejes mayor y menor, y el ángulo de rotación del eje mayor.
De la ecuación general a la forma canónica
Toda elipse del plano, por muy rotada o desplazada que esté, puede escribirse como A·x² + B·x·y + C·y² + D·x + E·y + F = 0, y todo manual de geometría prefiere la forma canónica (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 porque la geometría se aprecia de un vistazo: el centro (h, k) y los semiejes a y b. Este endpoint ejecuta ambos pasos con aritmética en forma cerrada — sin iteración ni búsqueda numérica —, de modo que el resultado es exacto salvo por el redondeo en coma flotante, fijado en seis decimales para que las respuestas sean estables a nivel de bytes entre máquinas y ejecuciones.
Cómo decide el endpoint que realmente es una elipse
Un valor negativo significa que la forma cuadrática es definida y la curva pertenece a la familia de las elipses; cero es una parábola, un valor positivo es una hipérbola, y ambos casos se rechazan con un error invalid_input que indica el discriminante para que usted vea por qué.
Dónde se usa y cuánto cuesta
Aquí es un solo POST con seis números.
Casos de integración
Convertir catálogos de cónicas por lotes
Recorra conjuntos de coeficientes guardados de una simulación o un estudio y añada centro y semiejes a cada registro a $0.002 por llamada.
Preguntas técnicas
¿Y si la ecuación no es una elipse?
Se rechaza con un error invalid_input: un discriminante B²−4AC no negativo significa hipérbola o parábola, y una elipse degenerada o imaginaria también se rechaza, con un mensaje que indica la causa.