Forma Padrão da Elipse: Centro, Semieixos e Rotação a partir da Equação

Se os coeficientes descreverem uma hipérbole, uma parábola, um único ponto ou nenhuma curva real, a requisição é rejeitada com um erro claro em vez de uma resposta sem sentido. A conversão é álgebra exata: completar quadrados para o centro e uma decomposição em autovalores da forma quadrática para os eixos. O mesmo código roda grátis no seu navegador nesta página.

Da equação geral à forma padrão

Ir de uma à outra exige dois passos. Primeiro, encontre o centro resolvendo o sistema linear 2A·h + B·k = −D e B·h + 2C·k = −E — este é o ponto onde as duas derivadas parciais se anulam, e completar o quadrado em torno dele elimina os termos lineares. Segundo, elimine o termo cruzado B·x·y.

Quando B é zero, a elipse já está alinhada aos eixos e os semieixos saem diretamente da divisão pela constante restante; quando B não é zero, a parte quadrática é uma matriz simétrica 2×2 cujos autovalores fornecem os denominadores ao quadrado e cujos autovetores fornecem o ângulo de rotação.

Como se confere que é mesmo uma elipse

A mesma equação de seis coeficientes pode descrever qualquer cônica, então a validação vem antes da conversão. A quantidade-chave é o discriminante B² − 4AC. Um discriminante negativo é necessário, mas não suficiente: após a translação para o centro, o termo constante precisa ser diferente de zero — caso contrário, a equação vale apenas no próprio centro, uma elipse degenerada em um ponto — e precisa ter o sinal oposto ao da parte quadrática, caso contrário nenhum ponto real satisfaz a equação, a chamada elipse imaginária.

Ambos os casos são rejeitados com uma mensagem que nomeia a falha. Somente quando as três verificações passam a resposta traz o centro, os semieixos maior e menor e a rotação do eixo maior em graus, normalizada para o intervalo semiaberto de 0 a 180, porque a direção de um eixo não tem orientação. Semieixos iguais significam que a elipse é um círculo, o que a resposta indica explicitamente.

Onde é usado e quanto custa

Cônicas na forma geral aparecem onde quer que curvas sejam ajustadas ou intersectadas algebricamente: o ajuste de elipses por mínimos quadrados em visão computacional devolve exatamente estes seis coeficientes, assim como as formas de colisão em motores de física, as áreas de cobertura de antenas em orçamentos de enlace de satélite e as elipses de confiança de uma matriz de covariância em estatística.

Em todos os casos, a forma padrão é o que você realmente precisa depois — para desenhar a curva, testar se um ponto está dentro, calcular a área ou a excentricidade — e fazer a conversão à mão significa refazer com cuidado o cálculo de autovalores toda vez. A chamada roda na nossa edge global, não guarda nada e não contém aleatoriedade nem dependência de relógio, então é seguro usar cache e memoização.

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