Equacao da esfera

Esta calculadora aceita esses quatro números — as três coordenadas do centro e um raio estritamente positivo — e devolve a identidade de livro (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r² junto com a forma geral expandida x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0. Os quatro coeficientes D = −2h, E = −2k, F = −2l, G = h² + k² + l² − r² e o raio ao quadrado viajam no mesmo payload para que um estudante, um corretor ou um script CAD copie qualquer uma das duas escritas sem expandir à mão. O raio precisa ser um número finito positivo; um valor ausente, nulo, negativo ou não numérico falha com invalid_input em vez de um NaN silencioso. Pela API, uma solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; falhas de validação não são cobradas.

O que é a equação padrão de uma esfera e quais coeficientes esta ferramenta devolve

Expandir os três binômios ao quadrado e reunir termos semelhantes produz a forma geral x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0, cujos quatro coeficientes são D = −2h, E = −2k, F = −2l e G = h² + k² + l² − r². A esfera unitária na origem é o caso especial h = k = l = 0 e r = 1, que se reduz a x² + y² + z² = 1 e a x² + y² + z² − 1 = 0. O raio precisa ser estritamente positivo: r = 0 é um único ponto, não uma esfera, e um raio negativo não é um comprimento geométrico. Esses casos falham com invalid_input em vez de um payload de sucesso oco.

Contrato de entrada, identidades dos coeficientes e como as duas cadeias são montadas

Depois da análise, o motor exige que r seja estritamente maior que zero e que cada coordenada fique dentro do teto absoluto publicado de 10^12, para que um raio não positivo nunca vire um r² falso e um estouro nunca vire um Infinity silencioso. Quando os quatro valores passam, o raio ao quadrado é r vezes r, D vale −2h, E vale −2k, F vale −2l e G é a soma das três coordenadas do centro ao quadrado menos esse raio ao quadrado. A cadeia da equação padrão escreve cada eixo com um binômio consciente do sinal: um centro nulo imprime x² em vez de (x − 0)², um centro positivo imprime (x − h)² e um centro negativo imprime (x + |h|)², e o mesmo para y e z. A cadeia da forma geral sempre parte de x² + y² + z² e depois acrescenta só os termos lineares e o constante diferentes de zero, de modo que a esfera unitária na origem é x² + y² + z² − 1 = 0, e não uma linha cheia de coeficientes mais-zero. Envie um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: h, k e l para o centro, e r para o raio. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica; os alias cx ou center_x, cy ou center_y, cz ou center_z, e radius são aceitos para que um payload no estilo CAD não precise de remapeamento. Campos ausentes, cadeias vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo. Combine a execução gratuita do navegador nesta página com a API cobrada quando você precisar do resultado algébrico idêntico dentro de um fluxo automatizado, sem reexpandir os três binômios por conta própria.

Onde uma calculadora da equação da esfera rende no estudo, no projeto e no código

Nesta página o trabalho roda por completo no seu navegador; pela API cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação falha não é cobrada e nada fica armazenado depois que a resposta volta. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API cobrada idêntica — permite passar de uma demonstração em sala a um fluxo automatizado sem mudar o resultado algébrico. Quer você tenha chegado buscando uma calculadora da equação da esfera ou a forma padrão a partir do centro e do raio, o contrato é o mesmo: centro finito e raio positivo na entrada, coeficientes e r² na saída, ou um invalid_input claro.