معادلة الكرة
اكتب معادلة الكرة من مركزها ونصف قطرها: المركز (1، 2، 3) مع نصف قطر 5 يعطي (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25، ومعها الصيغة العامة المفكوكة جاهزة للنسخ. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- H
- 1
- K
- 2
- L
- 3
- المقاومة (Ω)
- 5
- R تربيع
- 25
- D
- -2
- E
- -4
- F
- -6
المعادلة القياسية للكرة هي القول الديكارتي بأن كل نقطة (x, y, z) على السطح تبعد المسافة الثابتة r عن مركز معلوم (h, k, l).
ما المعادلة القياسية للكرة وأي معاملات تعيدها هذه الأداة
تتحدد الكرة في الفضاء الديكارتي الثلاثي تمامًا بنقطة مركز (h, k, l) ونصف قطر موجب r: فهي مجموعة كل النقاط التي يساوي بعدها الإقليدي عن ذلك المركز r تمامًا. بتربيع طرفي صيغة البعد تزول الجذر وتظهر المعادلة القياسية (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r²، وهي الشكل الذي تطلب الكتب كتابته وتنطلق منه معظم ملاحظات الرسوميات وCAD.
تعيد هذه الحاسبة الكتابتين للسطح نفسه والمعاملات الأربعة ومربع نصف القطر، حتى تلصق الهوية القياسية في سطر واجب أو تسلّم D وE وF وG إلى حالّ يفضّل الشكل العام أحادي المعامل الرئيس. كرة منقولة مثل المركز (1, 2, 3) ونصف القطر 5 تصبح (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25، بمعاملات D = −2 وE = −4 وF = −6 وG = −11.
لا تحسب هذه الأداة حجمًا ولا مساحة، ولا تلائم كرةً بأربع نقاط عيّنة، ولا تحوّل الوحدات؛ مقصد البحث هو المعادلة الجبرية لكرة من مركز ونصف قطر معلومين، بجواب واضح أو خطأ أمين.
عقد الإدخال وهويات المعاملات وكيفية بناء سلسلتي المعادلتين
بعد التحليل يشترط المحرك أن يكون r أكبر من الصفر قطعًا وأن تبقى كل إحداثية داخل الحد المطلق المنشور 10^12، فلا يصير نصف قطر غير موجب r² مزيفًا ولا يصير الفيض Infinity صامتًا. متى اجتازت القيم الأربع، يكون مربع نصف القطر r ضرب r، وD يساوي −2h، وE يساوي −2k، وF يساوي −2l، وG مجموع مربعات إحداثيات المركز الثلاث ناقص ذلك المربع.
تكتب سلسلة المعادلة القياسية كل محور بحدٍّ ثنائي واعٍ بالإشارة: مركز صفري يطبع x² لا (x − 0)²، ومركز موجب يطبع (x − h)²، ومركز سالب يطبع (x + |h|)²، وكذلك لـ y وz. تبدأ سلسلة الشكل العام دائمًا من x² + y² + z² ثم تضيف فقط الحدود الخطية والثابت غير الصفرية، فكرة الوحدة عند الأصل هي x² + y² + z² − 1 = 0 لا سطرًا مزدحمًا بمعاملات زائد صفر.
تُقرَّب كل حقول الأعداد إلى اثنتي عشرة مرتبة عشرية حتى تتطابق مثبتات الذهب بايتًا ببايت عبر محركات JavaScript، بينما يستخدم الحل الداخلي دائمًا الدقة المزدوجة الكاملة قبل خطوة التقريب الأخيرة.
أين تؤدي حاسبة معادلة الكرة عملها في الدراسة والتصميم والرمز
يلتقي الطلبة معادلة الكرة حين يطلب فصل الهندسة التحليلية الشكل القياسي من مركز ونصف قطر مدرجين، أو حين يريد امتحان الشكل العام بعد توسيع المربعات الثلاثة، أو حين يعامل مقرر لاحق متعدد المتغيرات الكرة مجموعة مستوى لـ x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابة مسبقًا تسرد D وE وF وG وr² لمراكز وأنصاف أقطار صحيحة، وترفض نصف قطر صفريًا أو سالبًا بدل طباعة NaN.
كثيرًا ما يحتاج التصميم الميكانيكي والمدني المعادلة الضمنية لخزان كروي أو سطح ارتكاز أو غلاف خلوص قبل بناء النموذج الصلب؛ ومعرفة أن نصف القطر المطلوب ليس موجبًا تساوي قيمة المعادلة نفسها. تضع أنابيب الرسوميات والروبوتات والتصادم كراتٍ أحجامًا حاضنة وتحتاج شكلًا ضمنيًا أحادي المعامل الرئيس حتميًا تقيّمه عند نقطة استعلام دون إعادة اشتقاق التوسيع. يستدعي المطوّرون العقد نفسه من سكربتات لبذر اختبارات وحدة لمكتبات هندسية، أو لتوضيح التوسيع الثنائي في أدوات تعليم، أو لاستيفاء تحديات برمجة تطالب بالكتابتين للسطح من أربعة أعداد.
تذكّر حدود العقد: لا تقيس هذه الأداة حجمًا ولا مساحة، ولا تستعيد كرة من أربع نقاط عيّنة، ولا تحوّل الوحدات. إن كان المركز بالأمتار ونصف القطر بالأمتار فالمعادلة بالأمتار.
حالات الاستخدام
تمارين معادلة الكرة للواجبات والامتحانات
اكتب المعادلتين القياسية والعامة من مركز الكتاب ونصف قطره، وتحقق من رفض نصف قطر غير موجب بدل معاملته ككرة منحلة إلى نقطة.
مثبتات هندسية حتمية
ولّد D وE وF وG وr² قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدة ومدققي المسابقات وتأكيدات CI، دون توسيع (x−h)²+(y−k)²+(z−l)² باليد.
كرات حاضنة في CAD والرسوميات
ابنِ المعادلة الضمنية لخزان أو ارتكاز أو كرة تصادم من مركز ونصف قطر معلومين حتى تُصنَّف نقطة الاستعلام تجاه السطح.
الأسئلة الشائعة
ما المعادلة القياسية للكرة؟
بالمركز (h, k, l) ونصف القطر r هي (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r². توسّع الحاسبة تلك الهوية أيضًا إلى الشكل العام.
هل يحسب هذا الحجم أو مساحة السطح؟
لا. هذا العقد هو المعادلة الجبرية ومعاملاتها فقط. الحجم والمساحة من نصف قطر ينتميان إلى أدوات قياس الكرة المخصصة.
كيف أحصل على الصيغة العامة لمعادلة الكرة؟
افكك المربعات الثلاثة وانقل كل الحدود إلى طرف واحد. المركز (1، 2، 3) مع نصف قطر 5 يعطي حدًا ثابتًا قدره −11، وكل معامل من الدرجة الأولى يساوي سالب ضعف إحدى إحداثيات المركز.
ماذا يحدث إذا كان نصف القطر صفرًا أو سالبًا؟
ترفض الحاسبة القيمة برسالة واضحة بدل أن تعرض نتيجة بلا معنى. فالكرة تحتاج إلى نصف قطر أكبر من الصفر، ولا تُعامل النقطة الواحدة على أنها كرة.
هل تستطيع الحاسبة إيجاد الكرة من أربع نقاط؟
لا. تنطلق الحاسبة من مركز ونصف قطر تعرفهما مسبقًا وتكتب المعادلة. أما استنتاج الكرة من أربع نقاط على سطحها فمسألة أخرى لا تحلها هذه الأداة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sphere-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"h":1,"k":2,"l":3,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sphere-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"h": 1,
"k": 2,
"l": 3,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sphere-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"h": 1,
"k": 2,
"l": 3,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sphere-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"h":1,"k":2,"l":3,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"h":1,"k":2,"l":3,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sphere-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"h": 1,
"k": 2,
"l": 3,
"r": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sphere_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تقبل هذه الحاسبة تلك الأعداد الأربعة — إحداثيات المركز الثلاثة ونصف قطر موجب قطعًا — وتعيد هوية الكتاب (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r² مع الشكل العام الموسَّع x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0. تسير المعاملات الأربعة D = −2h وE = −2k وF = −2l وG = h² + k² + l² − r² ومربع نصف القطر في الحمولة نفسها حتى ينسخ طالب أو مصحح أو سكربت CAD أيًّا من الكتابتين دون توسيع باليد. يجب أن يكون نصف القطر عددًا منتهيًا موجبًا؛ فالقيمة الغائبة أو الصفر أو السالبة أو غير العددية تفشل بـ invalid_input بدل NaN صامت. تجري الحسابات نفسها ذات الصيغة المغلقة في ودجة المتصفح المجانية وفي مسار API، فلا تختلف مراجعة الصف عن مثبت خط الأنابيب. عبر API تكلف الطلبية الناجحة $0.002؛ وإخفاقات التحقق لا تُفوتر.
ما المعادلة القياسية للكرة وأي معاملات تعيدها هذه الأداة
توسيع الحدود الثلاثية المربعة وجمع الحدود المتشابهة ينتج الشكل العام x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0، ومعاملاته الأربعة D = −2h وE = −2k وF = −2l وG = h² + k² + l² − r². كرة الوحدة عند الأصل هي الحالة الخاصة h = k = l = 0 وr = 1، فتنهار إلى x² + y² + z² = 1 وإلى x² + y² + z² − 1 = 0. يجب أن يكون نصف القطر موجبًا قطعًا: r = 0 نقطة واحدة لا كرة، ونصف القطر السالب ليس طولًا هندسيًا. تفشل تلك الحالات بـ invalid_input بدل حمولة نجاح جوفاء.
عقد الإدخال وهويات المعاملات وكيفية بناء سلسلتي المعادلتين
أرسل جسم JSON بأربعة أعداد منتهية إلزامية: h وk وl للمركز، وr لنصف القطر. يجوز أن يصل كل حقل عددًا في JSON أو سلسلة عددية؛ وتُقبل الأسماء البديلة cx أو center_x وcy أو center_y وcz أو center_z وradius حتى لا يحتاج حمولة بأسلوب CAD إلى إعادة تعيين. الحقول الغائبة والسلاسل الفارغة وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل. اقرن التشغيل المجاني للمتصفح في هذه الصفحة بـ API المسعَّر عندما تحتاج النتيجة الجبرية المطابقة داخل تدفق آلي، دون إعادة توسيع الحدود الثلاثية بنفسك.
أين تؤدي حاسبة معادلة الكرة عملها في الدراسة والتصميم والرمز
في هذه الصفحة يجري العمل كله في متصفحك؛ وعبر API تكلف كل مراجعة ناجحة $0.002، ولا تُحسب عملية تحقق فاشلة، ولا يُخزَّن شيء بعد عودة الرد. ذلك الانقسام — استكشاف تفاعلي مجاني وAPI مسعَّر مطابق — يتيح الانتقال من عرض صفّي إلى تدفق آلي دون تغيير النتيجة الجبرية. سواء وصلت باحثًا عن حاسبة معادلة الكرة أو عن الشكل القياسي من المركز ونصف القطر، فالعقد واحد: مركز منتهٍ ونصف قطر موجب داخلًا، ومعاملات وr² خارجًا، أو invalid_input واضح.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة معادلة الكرة؟
هي مجانية في متصفحك في هذه الصفحة. عبر API تكلف الطلبية الناجحة $0.002؛ والمدخلات غير الصالحة لا تُحسب.
ماذا يحدث إذا كان نصف القطر صفرًا أو سالبًا؟
يعيد المعالج invalid_input برسالة أن r يجب أن يكون عددًا منتهيًا موجبًا. النقطة أو الطول السالب ليست كرة.
أي معاملات تعيد الحاسبة؟
تعيد D = −2h وE = −2k وF = −2l وG = h² + k² + l² − r² للشكل العام x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0، إضافة إلى مربع نصف القطر r².