Kugelgleichung

Dieser Rechner nimmt jene vier Zahlen entgegen — die drei Mittelpunktskoordinaten und einen streng positiven Radius — und liefert die Lehrbuchidentität (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r² sowie die entwickelte allgemeine Form x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0. Die vier Koeffizienten D = −2h, E = −2k, F = −2l, G = h² + k² + l² − r² und das Radiusquadrat reisen im selben Payload, damit eine Schülerin, ein Korrektor oder ein CAD-Skript jede der beiden Schreibweisen kopieren kann, ohne von Hand zu entwickeln. Der Radius muss eine positive endliche Zahl sein; ein fehlender, nullter, negativer oder nicht numerischer Wert scheitert mit invalid_input statt eines stillen NaN. Über die API kostet eine erfolgreiche Anfrage $0.002; Validierungsfehler werden nicht berechnet.

Was die Standardgleichung einer Kugel ist und welche Koeffizienten dieses Werkzeug zurückgibt

Eine Kugel im dreidimensionalen kartesischen Raum ist durch einen Mittelpunkt (h, k, l) und einen positiven Radius r vollständig bestimmt: Sie ist die Menge aller Punkte, deren euklidischer Abstand von diesem Mittelpunkt genau r beträgt. Quadriert man beide Seiten der Abstandsformel, entfällt die Wurzel und es entsteht die Standardgleichung (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r² — die Form, die Lehrbücher aufschreiben lassen und von der die meisten Grafik- und CAD-Notizen ausgehen. Eine verschobene Kugel wie Mittelpunkt (1, 2, 3) und Radius 5 wird zu (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25, mit den Koeffizienten D = −2, E = −4, F = −6 und G = −11. Das Entwickeln der drei quadrierten Binome und das Zusammenfassen gleichartiger Terme liefert die allgemeine Form x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0, deren vier Koeffizienten D = −2h, E = −2k, F = −2l und G = h² + k² + l² − r² sind. Dieser Rechner gibt beide Schreibweisen derselben Fläche, die vier Koeffizienten und das Radiusquadrat zurück, damit Sie die Standardidentität in eine Hausaufgabenzeile einfügen oder D, E, F, G einem Löser übergeben können, der die monische allgemeine Form bevorzugt. Die Einheitskugel im Ursprung ist der Sonderfall h = k = l = 0 und r = 1, der auf x² + y² + z² = 1 und auf x² + y² + z² − 1 = 0 zusammenfällt. Der Radius muss streng positiv sein: r = 0 ist ein einzelner Punkt, keine Kugel, und ein negativer Radius ist keine geometrische Länge. Diese Fälle scheitern mit invalid_input statt eines hohlen Erfolgspayloads. Dieses Werkzeug berechnet weder Volumen noch Fläche, passt keine Kugel durch vier Stichprobenpunkte und rechnet keine Einheiten um; die Suchabsicht ist die algebraische Gleichung einer Kugel aus bekanntem Mittelpunkt und Radius, mit einer klaren Antwort oder einem ehrlichen Fehler.

Eingabevertrag, Koeffizientenidentitäten und Aufbau der beiden Gleichungszeichenketten

Nach dem Einlesen verlangt die Engine, dass r streng größer als null ist und jede Koordinate innerhalb der veröffentlichten Absolutgrenze von 10^12 bleibt, damit ein nicht positiver Radius niemals zu einem gefälschten r² und ein Überlauf niemals zu einem stillen Infinity wird. Sobald die vier Werte bestehen, ist das Radiusquadrat r mal r, D gleich −2h, E gleich −2k, F gleich −2l und G die Summe der drei quadrierten Mittelpunktskoordinaten minus jenem Radiusquadrat. Die Standardgleichungskette schreibt jede Achse mit einem vorzeichenbewussten Binom: ein Nullmittelpunkt druckt x² statt (x − 0)², ein positiver Mittelpunkt druckt (x − h)² und ein negativer Mittelpunkt druckt (x + |h|)², und ebenso für y und z. Die allgemeine Gleichungskette beginnt stets bei x² + y² + z² und hängt danach nur die von null verschiedenen linearen und konstanten Terme an, sodass die Einheitskugel im Ursprung x² + y² + z² − 1 = 0 ist und keine überladene Zeile voller Plus-Null-Koeffizienten. Senden Sie einen JSON-Körper mit vier erforderlichen endlichen Zahlen: h, k und l für den Mittelpunkt sowie r für den Radius. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette eintreffen; die Aliasse cx oder center_x, cy oder center_y, cz oder center_z und radius werden akzeptiert, damit ein CAD-artiges Payload nicht umbenannt werden muss. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN und Infinity scheitern mit invalid_input und nennen das Feld. Kombinieren Sie den kostenlosen Browserlauf auf dieser Seite mit der tarifierten API, wenn Sie dasselbe algebraische Ergebnis in einer automatisierten Pipeline brauchen, ohne die drei Binome selbst erneut zu entwickeln.

Wo ein Kugelgleichungs-Rechner in Studium, Entwurf und Code seinen Nutzen zeigt

Auf dieser Seite läuft die Arbeit vollständig in Ihrem Browser; über die API kostet jede erfolgreiche Abfrage $0.002, eine fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet und nach der Antwort wird nichts gespeichert. Diese Trennung — kostenlose interaktive Erkundung und eine tarifierte, identische API — lässt Sie von einer Klassendemonstration zu einer automatisierten Pipeline wechseln, ohne das algebraische Ergebnis zu ändern. Ob Sie nach einem Kugelgleichungs-Rechner oder nach der Standardform aus Mittelpunkt und Radius gesucht haben — der Vertrag ist derselbe: endlicher Mittelpunkt und positiver Radius hinein, Koeffizienten und r² hinaus, oder ein klares invalid_input.