Allgemeine Form zur Normalform des Kreises

Die allgemeine Form eines Kreises, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, verbirgt genau das, was Sie meist brauchen: wo der Mittelpunkt liegt und wie groß der Radius ist. Dieser Umrechner führt die quadratische Ergänzung für Sie durch und liefert die Normalform (x − h)² + (y − k)² = r² zusammen mit den Mittelpunktskoordinaten h und k, dem Radius, dem Radiusquadrat und beiden Gleichungen als lesbaren Text. Der Rechenweg ist deterministische reine Arithmetik — keine Netzwerkaufrufe, kein Zufall, keine Zeitabhängigkeit —, daher liefern das kostenlose Browser-Tool auf dieser Seite und die Prepaid-API exakt dasselbe JSON, Byte für Byte nach fester Dezimalrundung, bei jedem Aufruf.

Von der allgemeinen Form zur Normalform durch quadratische Ergänzung

Multipliziert man diese Quadrate aus und fasst die Terme zusammen, ergibt sich die allgemeine Form x² + y² + Dx + Ey + F = 0, wobei D = −2h, E = −2k und F = h² + k² − r² gilt. Da die allgemeine Form bei x² und y² stets den Koeffizienten 1 hat und kein xy-Glied enthält, ist nie ein Skalierungs- oder Rotationsschritt nötig — drei Koeffizienten hinein, Mittelpunkt und Radius heraus, wobei beide Gleichungstexte aus denselben gerundeten Werten erzeugt werden, sodass das Gelesene dem entspricht, was die API berechnet hat.

API-Eingaben, -Ausgaben und Fehlerverhalten

Jedes numerische Ergebnis wird auf sechs Dezimalstellen gerundet, damit die Ausgabe über Maschinen und Laufzeiten hinweg stabil bleibt. Ein Radikand von null bedeutet, dass die Gleichung einen einzelnen Punkt beschreibt; ein negativer bedeutet, dass überhaupt kein reeller Kreis existiert, manchmal imaginärer Kreis genannt. Die Fehlermeldung sagt Ihnen, welcher Fall vorliegt, und zeigt den betreffenden Radikanden. Senden Sie einen JSON-Body mit den drei Koeffizienten von x² + y² + Dx + Ey + F = 0: d, e und f. Alle drei sind Pflichtfelder und müssen endliche Zahlen sein; die Aliase D, E, F und coeff_d, coeff_e, coeff_f werden auf dieselben Felder abgebildet, was praktisch ist, wenn Sie Koeffizienten direkt aus einer CAS-Ausgabe übernehmen. Im Erfolgsfall spiegelt die Antwort d, e und f, liefert dann ein verschachteltes center-Objekt mit h und k, den Radius, den Wert radius_squared, die lesbaren Zeichenketten standard_equation und general_equation sowie method mit dem Wert completing_the_square. Im Fehlerfall gibt die API invalid_input zurück und die Anfrage wird nie berechnet: Das gilt für fehlende oder nicht numerische Koeffizienten, Werte außerhalb des veröffentlichten Betragslimits von einer Billion und — am wichtigsten — für jedes Koeffiziententripel, dessen berechnetes Radiusquadrat null oder negativ ist. Der Preis beträgt pauschal $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit einer Position und einem Grenzpreis von null pro Einheit.

Praktische Tipps, Rechenbeispiele und Grenzen

Beginnen Sie mit den Lehrbuchklassikern, um Sicherheit zu gewinnen. Ein entarteter Fall wie x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 ergibt ein Radiusquadrat von null und wird als einzelner Punkt zurückgewiesen, während x² + y² + 1 = 0 einen negativen Radikanden ergibt und als imaginärer Kreis zurückgewiesen wird. Der Einheitskreis x² + y² − 1 = 0 hat d = 0, e = 0, f = −1 und ergibt den Mittelpunkt (0, 0) mit Radius 1. Ein verschobener Kreis wie x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 hat d = −6, e = 4, f = −12 und ergibt den Mittelpunkt (3, −2) mit Radius 5, also die Normalform (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — beachten Sie, wie sich die Vorzeichen zwischen den Koeffizienten und den Mittelpunktskoordinaten umkehren; das ist der häufigste Fehler beim händischen Rechnen, den dieses Tool aufdeckt. Halten Sie alle Koeffizienten innerhalb des veröffentlichten Betragslimits von einer Billion, damit die Zwischenquadrate in IEEE-Doppelgenauigkeit sowohl im Edge-Worker als auch im Browser endlich bleiben. Einheiten sind die, die Sie übergeben — Meter, Pixel oder abstrakte Koordinaten —, solange Sie konsistent bleiben; die API rechnet keine Einheiten um. Zur Gegenprobe multiplizieren Sie die zurückgegebene Normalform von Hand aus und prüfen, ob Sie D, E und F innerhalb der Gleitkommatoleranz zurückerhalten, oder senden Sie dieselben Koeffizienten zweimal und prüfen, ob das JSON Byte für Byte übereinstimmt.