Kreisgleichungs-Rechner: Standard- und allgemeine Form

Ein Kreisgleichungs-Rechner wandelt geometrische Eingaben, die Sie bereits haben, in die beiden algebraischen Formen um, die Studierende und Ingenieure wirklich hinschreiben. Geben Sie einen Mittelpunkt und einen positiven Radius an, oder fügen Sie die allgemeine Form x im Quadrat plus y im Quadrat plus Dx plus Ey plus F gleich null ein, und Sie erhalten die Standardgleichung mit Zentrum in h und k, die entwickelten allgemeinen Koeffizienten sowie Fläche und Umfang aus demselben zurückgewonnenen Radius. Hausaufgaben-Checks, CAD-Notizen, Spielkollisions-Setup und Interview-Vorbereitung brauchen diese vier Ergebnisse nebeneinander, ohne ein Computer-Algebra-System zu öffnen.

Was Standard- und allgemeine Kreisgleichung bedeuten

Die Standardform eines Kreises wird als Quadrat von x minus h plus Quadrat von y minus k gleich r im Quadrat geschrieben. Hier sind h und k die Mittelpunktskoordinaten und r der positive Radius. Das Entwickeln dieser Identität liefert die allgemeine Form x im Quadrat plus y im Quadrat plus Dx plus Ey plus F gleich null, wobei D gleich minus zwei h, E gleich minus zwei k und F gleich h im Quadrat plus k im Quadrat minus r im Quadrat ist.

Der umgekehrte Weg ist ebenso mechanisch: aus allgemeinen Koeffizienten ist der Mittelpunkt h gleich minus D durch zwei und k gleich minus E durch zwei, und der Radius ist die positive Quadratwurzel aus h im Quadrat plus k im Quadrat minus F. Ist dieser Radikand null oder negativ, ist die Gleichung ein Punkt oder kein reeller Kreis, und dieses Werkzeug lehnt die Eingabe ab, statt einen imaginären Radius zu erfinden.

Die Fläche ist pi mal r im Quadrat und der Umfang ist zwei pi r — dieselben Formeln aus der Schule —, sodass ein Einheitskreis im Ursprung Fläche pi und Umfang zwei pi liefert, während ein Kreis mit Radius fünf im Ursprung Fläche fünfundzwanzig pi und Umfang zehn pi liefert.

Beide algebraischen Formen zu kennen zählt, weil Lehrbücher, Wettbewerbsaufgaben und Bewertungsraster frei zwischen ihnen wechseln: eine Aufgabe kann das Vervollständigen des Quadrats aus der allgemeinen Form verlangen, die nächste das Entwickeln der Standardform in Koeffizienten für ein CAS oder einen Grafik-Shader.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Lehnen Sie null oder negativen Radius in Hausaufgaben-Skripten immer ab statt zu klemmen, weil Fläche und Umfang für Nicht-Kreise ihren Sinn verlieren und stille Klemmen Algebrafehler verbergen. Diese Seite richtet sich an Personen, die einen Kreisgleichungs-Rechner, die Standardform eines Kreises oder einen Konverter der allgemeinen Form suchen; sie ist weder eine Drei-Punkt-Kreisanpassung noch ein Geraden-Kreis-Schnitt-Löser. Bevorzugen Sie Mittelpunkt plus Radius, wenn Sie Mittelpunkt und Radius gemessen oder erhalten haben; bevorzugen Sie die allgemeine Form, wenn ein Lehrbuch oder CAS entwickelte Koeffizienten geliefert hat.

Round-Trip-Prüfungen sind einfach: nach dem Lösen aus der allgemeinen Form D, E und F aus h, k und r neu entwickeln und innerhalb der Gleitkommatoleranz abgleichen, und bestätigen, dass Fläche durch pi gleich r im Quadrat ist.