Ellipse: Allgemeine Form zu Standard

Lehrbücher, Wettbewerbsaufgaben und CAS-Ausgaben liefern oft eine unordentliche allgemeine Kegelschnittgleichung A x zum Quadrat plus B x y plus C y zum Quadrat plus D x plus E y plus F gleich null und verlangen die Ellipse in Standardform. Das Vervollständigen des Quadrats von Hand gelingt, wenn B null ist und die Zahlen freundlich sind; Fehler entstehen leicht, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt, Achsen vertauscht sind oder ein nicht verschwindendes xy-Glied die Figur dreht. Dieser Ellipsen-Rechner von der allgemeinen Form zur Standardform nimmt die sechs Koeffizienten, prüft, dass die Diskriminante B zum Quadrat minus vier A C negativ ist, löst den eindeutigen Mittelpunkt, diagonalisiert die quadratische Form und liefert große und kleine Halbachse, den Drehwinkel, lesbare Standard- und allgemeine Gleichungen sowie einen kurzen Formelblock.

Von der allgemeinen Gleichung zur Normalform

Eine Ellipse wird in Aufgaben oft als lange Gleichung mit sechs Koeffizienten angegeben: A mal x zum Quadrat, B mal xy, C mal y zum Quadrat, dazu D mal x, E mal y und eine Konstante F. Der Rechner prüft zuerst, ob B zum Quadrat minus viermal A mal C negativ ist, denn nur dann kann es eine Ellipse sein. Danach bestimmt er den Mittelpunkt, dreht die Figur bei Bedarf auf ihre Hauptachsen und liest daraus die große und die kleine Halbachse ab. Aus x² + 4y² − 4 = 0 wird so eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und den Halbachsen 2 und 1.

Wo das Quadratergänzen schiefgeht

Von Hand klappt das Quadratergänzen gut, solange kein xy-Glied vorkommt und die Zahlen freundlich sind. Fehler schleichen sich ein, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt, wenn man die Achsen vertauscht oder wenn ein xy-Glied bedeutet, dass die Ellipse gedreht ist. Dann nennt der Rechner den Drehwinkel in Grad und im Bogenmaß und schreibt die Normalform im gedrehten System. Gleichungen, die eine Hyperbel, eine Parabel, einen einzelnen Punkt oder gar keine reelle Kurve beschreiben, werden abgelehnt, statt erfundene Achsen auszugeben.

Von allgemeinen Kegelschnittkoeffizienten zur Ellipsen-Standardform

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in zwei Variablen lautet A x zum Quadrat plus B x y plus C y zum Quadrat plus D x plus E y plus F gleich null. Ihr Typ wird durch die Diskriminante delta gleich B zum Quadrat minus vier A C gesteuert: negativ für Ellipsentyp, null für Parabeltyp und positiv für Hyperbeltyp.

Der Ellipsentyp allein reicht nicht — der Ort kann noch ein einzelner Punkt, leer oder entartet sein —, daher bestimmt dieser Rechner auch den Mittelpunkt durch Lösen des linearen Systems aus den partiellen Ableitungen, wertet den verschobenen konstanten Term g an diesem Mittelpunkt aus und liest die Halbachsenquadrate aus den Eigenwerten der Matrix der quadratischen Form. Nach der Verschiebung lautet die Gleichung A X zum Quadrat plus B X Y plus C Y zum Quadrat plus g gleich null.

Die Eigenwerte lambda eins und lambda zwei der Matrix mit A und C auf der Diagonalen und B durch zwei außerhalb erfüllen lambda i mal die quadrierte Koordinate entlang jeder Hauptachse gleich minus g, sodass jedes Halbachsenquadrat minus g durch lambda i ist. Beide Größen müssen strikt positiv sein für eine reelle nicht entartete Ellipse; sonst wird die Anfrage abgelehnt.

Wenn B null ist, fluchten die Achsen mit dem Koordinatenrahmen und es erscheint die vertraute Form nach dem Vervollständigen des Quadrats: X zum Quadrat über a zum Quadrat plus Y zum Quadrat über b zum Quadrat gleich eins, mit Mittelpunkt h und k. Wenn B nicht null ist, richtet eine Drehung um den Winkel theta die Figur an den Hauptachsen aus, und die Antwort meldet diesen Winkel in Grad und Bogenmaß zusammen mit der Standardgleichung in den gedrehten Koordinaten.

Ein Kreis ist der Sonderfall, in dem beide Halbachsen übereinstimmen; die Drehung wird dann als null gemeldet, weil jeder Winkel äquivalent ist. Sowohl die allgemeinen Koeffizienten als auch die Standardgeometrie zu kennen, ist wichtig, weil Bewertungsraster, CAD-Notizen und Shader-Uniforms frei zwischen ausgeschriebenen Polynomen und Beschreibungen über Mittelpunkt und Achsen wechseln.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Verschieben Sie dieselbe Figur so, dass der Mittelpunkt bei eins minus zwei liegt, und prüfen Sie, dass das händische Vervollständigen des Quadrats mit h, k und beiden Halbachsen übereinstimmt. Enthält eine Aufgabe ein xy-Glied, vertrauen Sie der gemeldeten Drehung und den Haupthalbachsen statt die Orientierung nur aus einer Skizze zu raten; die Eigenvektor-Konvention normalisiert den Winkel der großen Achse in einen stabilen Halbkreisbereich, sodass wiederholte Aufrufe das Vorzeichen nicht grundlos umkehren.

Halten Sie Einheiten konsistent — Meter, Pixel oder abstrakte Spieleinheiten —, denn der Rechner rechnet Einheiten nie für Sie um. Behandeln Sie Nicht-Ellipsen in Auto-Korrektoren immer als harte Fehler: Eine Hyperbel mit positiver Diskriminante darf nicht als abgeflachte Ellipse akzeptiert werden, und ein Punktort darf nicht als Achsen mit Radius null gemeldet werden.

Diese Seite zielt auf Suchen nach einem Ellipsen-Rechner von der allgemeinen Form zur Standardform, einem Kegelschnittkoeffizienten-Umwandler oder Ellipsenmittelpunkt und Halbachsen aus A B C D E F; sie ist kein Dreipunkt-Ellipsenfit, kein voller Multi-Kegelschnitt-Klassifikator mit Plots und kein Ersatz für symbolische CAS-Schrittlisten. Roundtrip-Prüfungen sind nach Erfolg einfach: Bauen Sie bei B gleich null das allgemeine Polynom aus der rekonstruierten Geometrie wieder auf und bestätigen Sie Übereinstimmung der Koeffizienten innerhalb der Gleitkommatoleranz, und bestätigen Sie, dass die Fläche pi mal große mal kleine Halbachse positiv ist.