Ellipsen-Leitlinien-Rechner
Geben Sie die beiden Halbachsen einer Ellipse ein und erhalten Sie den Abstand vom Mittelpunkt zu jeder Leitlinie: Halbachsen 5 und 3 ergeben einen Brennpunkt bei 4, die Exzentrizität 0,8 und Leitlinien in 6,25 Abstand. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 5
- B
- 3
- Große Halbachse
- 5
- Kleine Halbachse
- 3
- Lineare Exzentrizität
- 4
- Exzentrizität
- 0,8
Jede nicht kreisförmige Ellipse ist durch die Brennpunkt–Leitlinien-Eigenschaft definiert: das Verhältnis der Entfernung zu einem Brennpunkt zur Entfernung zur zugehörigen Leitlinie ist die Exzentrizität e, eine Zahl streng zwischen null und eins. Lehrbücher fordern die Lage dieser Leitlinien, sobald die Halbachsen bekannt sind, und Design- oder Astronomie-Pipelines brauchen oft denselben Skalar — den Abstand vom Mittelpunkt zu jeder Leitgeraden — ohne Wurzelziehen von Hand. Dieser Ellipsen-Leitlinien-Rechner nimmt die beiden positiven Halbachsenlängen a und b, wählt die größere als große Halbachse und die kleinere als kleine Halbachse und liefert den Leitlinienabstand zusammen mit linearer Exzentrizität und Exzentrizität. Ein Kreis (a gleich b) wird als entarteter Fall ohne endliche Leitlinie abgelehnt.
Was die Leitlinie einer Ellipse ist und warum der Abstand zählt
Eine Ellipse ist die Menge der Punkte in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Brennpunkten konstant ist. Eine gleichwertige Definition nutzt einen Brennpunkt und eine Leitlinie: Für jeden Punkt P auf der Ellipse ist der Abstand von P zu einem Brennpunkt geteilt durch den Abstand von P zur zugehörigen Leitlinie gleich der Exzentrizität e.
Diese Exzentrizität ist dimensionslos und erfüllt null kleiner als e kleiner als eins für eine nicht kreisförmige Ellipse; der Grenzfall e gleich null ist der Kreis, der keine endliche Leitlinie hat, weil das formale Verhältnis eine Division durch null erfordern würde. Sind große Halbachse A und kleine Halbachse B bekannt, ist die lineare Exzentrizität c — Abstand vom geometrischen Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt — die Quadratwurzel aus A im Quadrat minus B im Quadrat. Die Exzentrizität selbst ist c geteilt durch A.
Die beiden Leitlinien sind Geraden senkrecht zur großen Achse, und der Abstand vom Mittelpunkt zu jeder Leitlinie ist A geteilt durch e, was sich algebraisch zu A im Quadrat über c vereinfacht. Diese eine positive Länge brauchen die meisten Übungsaufgaben, CAD-Annotationen und Katalogzeilen: die Leitlinien plus oder minus diesen Abstand vom Mittelpunkt entlang der großen Achse zu platzieren. Von Hand ist die Rechnung kurze Algebra, aber Lernende vertauschen oft die Ellipsenformel mit der Hyperbel, wählen die falsche große Achse oder vergessen, dass gleiche Halbachsen e gleich null machen.
Die Automatisierung mit validierten positiven Eingaben und expliziter Ablehnung des kreisförmigen Entartungsfalls entfernt diese Fehler und legt weiterhin jede Zwischengröße für den nächsten Schritt einer Lösung oder Pipeline offen.
Anwendungsfälle
Klassen- und Hausaufgabenprüfungen
Lassen Sie Lernende die Halbachsen a und b einreichen und den Abstand vom Mittelpunkt zur Leitlinie sowie Exzentrizität und lineare Exzentrizität gegen Lehrbuchmethoden prüfen.
Automatische Bewertung in Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Ellipsen-Leitlinien-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das Kreise (a = b) als entartet ablehnt und nie eine endliche Distanz erfindet, wenn e null ist.
CAD und technische Dokumentation
Annotieren Sie elliptische Profile mit Brennpunkt- und Leitlinienabständen aus gemessenen Halbachsen, ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek zu importieren.
Häufige Fragen
Wie findet man den Leitlinienabstand einer Ellipse?
Senden Sie positive endliche Zahlen a und b (ungleich).
Was geschieht, wenn a gleich b ist?
Ein Kreis ist eine entartete Ellipse mit Exzentrizität 0 und hat keine endliche Leitlinie.
Was ist die Leitlinie einer Ellipse?
Eine Gerade senkrecht zur großen Achse. Für jeden Punkt der Ellipse ist der Abstand zu einem Brennpunkt geteilt durch den Abstand zur zugehörigen Leitlinie gleich der Exzentrizität, einer Zahl zwischen 0 und 1.
Spielt es eine Rolle, welche Halbachse ich zuerst eingebe?
Nein. Der größere der beiden Werte gilt immer als große Halbachse, der kleinere als kleine, Sie müssen sie also nicht selbst ordnen.
Welche Fehler passieren bei der Leitlinie häufig?
Man nimmt versehentlich die Formel der Hyperbel, hält die kürzere Achse für die große oder vergisst, dass gleiche Halbachsen einen Kreis ergeben, der keine endliche Leitlinie hat.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-directrix \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":5,"b":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-directrix", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 5,
"b": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-directrix",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 5,
"b": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-directrix", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":5,"b":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":5,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-directrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 5,
"b": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.ellipse_directrix",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eingabevertrag, Formeln und Aufbau der Antwort
Beide müssen endlich und streng positiv sein; null und negative Längen scheitern, weil eine Halbachse eine geometrische Länge ist, keine vorzeichenbehaftete Koordinate. Die Engine setzt die große Halbachse A auf das Maximum von a und b und die kleine Halbachse B auf das Minimum, sodass Sie die Achsen nicht selbst ordnen müssen. Kombinieren Sie die Antwort mit eigenem Plotcode, wenn Sie die Geradengleichungen x gleich plus oder minus dem Abstand in Hauptachsenkoordinaten brauchen; dieser Endpunkt liefert nur den skalaren Abstand und die stützenden Kegelschnitt-Invarianten. Senden Sie einen JSON-Body mit zwei erforderlichen numerischen Feldern: a und b, den Halbachsenlängen der Ellipse. Zahlen dürfen als JSON-Zahlen oder plain numerische Zeichenketten ankommen. Ist a gleich b, ist die Ellipse ein Kreis: die Exzentrizität wäre null und der Leitlinienabstand undefiniert, daher scheitert die Aufgabe mit invalid_input und einer Meldung, die den entarteten Kreisfall benennt. Andernfalls berechnet sie die lineare Exzentrizität c als Wurzel aus A im Quadrat minus B im Quadrat, die Exzentrizität e als c über A und directrix_distance als A über e, gleichwertig A im Quadrat über c. Die Erfolgsnutzlast spiegelt a und b, meldet semi_major und semi_minor, dann linear_eccentricity, eccentricity, directrix_distance und eine kurze Formelzeichenkette, die Sie neben der Antwort zeigen können. Fehlende Felder, nichtnumerische Werte, nichtpositive Achsen und der Kreisfall scheitern mit invalid_input und werden nie berechnet. Es gibt keine Zufälligkeit, keine Uhrenabhängigkeit und keinen Netzaufruf; zwei identische Anfragen erzeugen immer dasselbe JSON.
Wo eine Ellipsen-Leitlinien-API Nutzen stiftet und was sie kostet
Klassenräume und Tutoring-Plattformen nutzen einen Ellipsen-Leitlinien-Rechner, damit Lernende den Abstand vom Mittelpunkt zur Leitlinie für beliebige Halbachsen prüfen können, ohne große und kleine Achse von Hand zu vertauschen. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das a gleich b als entartet ablehnt, statt still Unendlich oder NaN zu liefern, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgebucht. Ingenieur-Notizbücher und CAD-Helfer annotieren oft Brennpunkt–Leitlinien-Geometrie beim Dokumentieren elliptischer Bögen, Nockenprofile oder optischer Querschnitte; ein kleiner Parse-API-Aufruf erspart ein volles Computeralgebra-System für zwei positive Zahlen. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie a und b positiv und ungleich, pinnen Sie gerundetes directrix_distance in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Kegelschnittgeometrie für Hausaufgaben, Notenbücher und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Infrastruktur aufzubauen.
Technische Fragen
Muss die große Halbachse zuerst gesendet werden?
Nein. Der Rechner setzt semi_major = max(a,b) und semi_minor = min(a,b), daher wird jede Reihenfolge der beiden positiven Längen akzeptiert.
Welche weiteren Werte enthält die Antwort?
Neben directrix_distance liefert sie semi_major, semi_minor, linear_eccentricity c, eccentricity e, die gespiegelten Eingaben und eine kurze Formelzeichenkette.
Was kostet der Ellipsen-Leitlinien-Rechner?
Das Browser-Tool ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.