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Hyperbel-Scheitel und Leitlinie

Mit den Halbachsen 3 und 4 liegen die Scheitel der Hyperbel bei (3, 0) und (−3, 0) und die Leitlinien bei x = ±1,8; dazu sehen Sie c gleich 5 und die Exzentrizität 5/3. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 3
B: 4

Erhalten Sie

C: 5
Exzentrizität: 1,6666666667
Leitlinie x: 1,8
Leitlinien: x = 1.8, x = -1.8

Die Scheitel einer Hyperbel sind die beiden Punkte, an denen die Kurve ihre Querachse trifft, und die Leitlinien sind das Paar fester Geraden der Brennpunkt-Leitlinien-Definition des Kegelschnitts. Für die standardmäßige horizontale Form x-Quadrat über a-Quadrat minus y-Quadrat über b-Quadrat gleich eins liegen die Scheitel bei plus oder minus a auf der x-Achse, während die Leitlinien die vertikalen Geraden x gleich plus oder minus a über e sind, mit Exzentrizität e gleich c über a und c gleich der Quadratwurzel aus a-Quadrat plus b-Quadrat. Dieser Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie nimmt positive Halbachsen a und b an, liefert beide Scheitel, die Leitlinienpositionen und -gleichungen sowie die Hilfswerte c und e und lehnt eine Null-Halbachse ab, weil die Geometrie entartet und die Division undefiniert wäre.

Was Hyperbel-Scheitel und Leitlinien sind und wie a und b sie festlegen

Eine Hyperbel ist die Menge der Punkte, deren absoluter Abstandsunterschied zu zwei festen Brennpunkten konstant ist, und gleichwertig die Menge der Punkte, deren Abstand zu einem Brennpunkt e-mal dem Abstand zur zugehörigen Leitlinie beträgt, mit Exzentrizität e streng größer als eins. In der standardmäßigen horizontalen Darstellung mit Mittelpunkt im Ursprung wird der Ort als x-Quadrat über a-Quadrat minus y-Quadrat über b-Quadrat gleich eins geschrieben, wobei a die quergerichtete Halbachse und b die konjugierte Halbachse ist.

Die Scheitel sind die dem Mittelpunkt entlang der Querachse nächsten Punkte der Kurve: Sie liegen bei den Koordinaten a null und minus a null. Die lineare Exzentrizität c ist die Quadratwurzel aus a-Quadrat plus b-Quadrat, sodass die Brennpunkte weiter außen bei plus oder minus c auf der x-Achse liegen. Die Exzentrizität e beträgt c über a und ist bei einer echten Hyperbel stets größer als eins.

Die Leitlinien sind die vertikalen Geraden x gleich plus oder minus a über e, also plus oder minus a-Quadrat über c. Diese Geraden schneiden die Kurve nie; sie dienen als Bezug in der Brennpunkt-Leitlinien-Definition und erscheinen in Lehrbüchern, sobald Exzentrizität, Parameter oder Polarform eines Kegelschnitts eingeführt werden. Lernende verwechseln oft Ellipsenformeln, bei denen e kleiner als eins ist und die Leitlinienformel ähnlich aussieht, vertauschen a und b oder versuchen Scheitel zu zeichnen, wenn eine eingegebene Null die Querachse zusammenbrechen lässt.

Wo ein Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie seinen Nutzen zeigt

Unterricht und Tutorien nutzen einen fokussierten Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie, damit Lernende prüfen können, dass die Scheitel bei plus oder minus a liegen und die Leitlinien bei plus oder minus a über e, ohne Ellipsenformeln zu mischen oder die zweite Leitlinie zu vergessen. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das eine Null- oder negative Halbachse als ungültig markiert, statt stillschweigend einen Absolutbetrag zu nehmen, der einen Schülerfehler verbergen würde.

CAD- und technische Illustrationsskripte brauchen oft die Scheitelpunkte und die vertikalen Leitlinien-Hilfen beim Skizzieren der Kurve neben Brennpunkten und Asymptoten verwandter Werkzeuge. Physik- und Bahnmechanik-Demos, die die Halbachsen bereits kennen, können Scheitel und Leitlinien abrufen, ohne ad-hoc-Wurzeln und Divisionen in jede Notebook-Zelle einzubetten. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.

Halten Sie beide Halbachsen endlich und strikt positiv, behandeln Sie die zurückgegebenen Scheitelkoordinaten und Leitlinienstrings als anzeigefertige Beschriftungen in der Oberfläche und verankern Sie die gerundeten Werte in Tests, damit Hausaufgaben, LMS und Edge-Worker eine reproduzierbare Antwort teilen, ohne ein eigenes Computeralgebrasystem.

Anwendungsfälle

Hausaufgaben- und Unterrichtskontrollen

Lernende geben die Halbachsen a und b ein und prüfen Scheitel (±a, 0) und Leitlinien x = ±a/e gegen die Buchantworten.

Automatische Prüfungs- und LMS-Bewertung

Bewerten Sie Scheitel- und Leitlinienaufgaben mit einem deterministischen Orakel, das Null- oder negative Halbachsen ablehnt und nie einen Punkt erfindet.

Häufige Fragen

Wie findet man Hyperbel-Scheitel und Leitlinien aus den Halbachsen?

Senden Sie positive Zahlen a (quergerichtete Halbachse) und b (konjugierte Halbachse).

Was geschieht, wenn a oder b null ist?

Eine Null-Halbachse macht Scheitel oder Leitlinien undefiniert oder entartet; solche Fehler werden nicht berechnet.

Welche Form der Hyperbel wird angenommen?

Die standardmäßige horizontale Form x²/a² − y²/b² = 1 mit Mittelpunkt im Ursprung. Die Scheitel sind (±a, 0) und die Leitlinien sind die vertikalen Geraden x = ±a/e.

Wo liegen die Brennpunkte einer Hyperbel mit den Halbachsen 3 und 4?

Auf der Querachse bei plus oder minus c, wobei c die Quadratwurzel aus a-Quadrat plus b-Quadrat ist. Mit 3 und 4 ist c gleich 5, die Brennpunkte liegen also bei (5, 0) und (−5, 0), weiter außen als die Scheitel.

Warum liegen die Leitlinien zwischen den beiden Scheiteln?

Jede Leitlinie liegt bei a geteilt durch e, und die Exzentrizität einer Hyperbel ist immer größer als eins, also ist a durch e kleiner als a. Mit 3 und 4 liegen die Leitlinien bei ±1,8, innerhalb der Scheitel bei ±3, und sie berühren die Kurve nie.

Was passiert, wenn eine Halbachse null oder negativ ist?

Die Eingabe wird abgelehnt. Bei null fallen die Scheitel in den Ursprung oder die Formel der Exzentrizität müsste durch null teilen, und ein negativer Wert ergibt keinen Sinn, weil eine Halbachse eine Länge ist und keine Koordinate mit Vorzeichen.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":3,"b":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 3,
    "b": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 3,
    "b": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":3,"b":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 3,
  "b": 4
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.hyperbola_vertices",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Lernende, Prüfungsgeneratoren und technische Zeichenskripte können ein einziges deterministisches JSON-Ergebnis teilen, statt a über e von Hand neu abzuleiten.

Was Hyperbel-Scheitel und Leitlinien sind und wie a und b sie festlegen

Ein spezieller Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie mit geprüften positiven Eingaben vermeidet diese Fehler und liefert weiterhin Scheitel, Leitlinienkoordinaten, Gleichungsstrings sowie die Zwischenwerte c und e in einem JSON-Objekt für den nächsten Schritt einer Lösung oder Pipeline.

Eingabevertrag, Fehler bei Null-Halbachse und Form der Antwort

Beide Halbachsen müssen strikt positiv sein. Eine Null-Halbachse wird mit klarer Meldung abgelehnt, weil die Scheitel im Ursprung zusammenfallen oder die Exzentrizitätsformel durch null teilen würde, und negative Längen werden abgelehnt, weil eine Halbachse eine geometrische Länge ist, keine vorzeichenbehaftete Koordinate. Diese Validierungsfehler werden nicht berechnet. Beispiel: a gleich drei und b gleich vier ergibt c gleich fünf, Exzentrizität fünf Drittel, Scheitel bei drei null und minus drei null sowie Leitlinien x gleich 1.8 und x gleich -1.8. Senden Sie ein JSON-Objekt mit zwei Pflichtfeldern: a für die quergerichtete Halbachse und b für die konjugierte Halbachse. Alias semi_transverse und semi_a für die erste Achse sowie semi_conjugate und semi_b für die zweite werden akzeptiert. Jeder Wert muss eine endliche Zahl oder eine einfache numerische Zeichenkette sein; fehlende, leere, nicht numerische, NaN- und Infinity-Werte scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Bei Erfolg spiegelt der Körper a und b wider, meldet c als lineare Exzentrizität, eccentricity als e gleich c über a, vertices als geordnetes Paar der Punkte bei plus a und minus a auf der x-Achse, directrix_x als positiven Abstand a über e vom Mittelpunkt, directrices als die beiden vertikalen Gleichungstexte, hyperbola_equation der definierenden Kegelschnittgleichung, orientation horizontal, center im Ursprung und einen kurzen formula-String. Halten Sie Anfragen klein — zwei Zahlen rein, ein kompaktes JSON raus — und verankern Sie die gerundeten Scheitel und directrix_x in automatisierten Tests, damit eine künftige Rundungsänderung sofort sichtbar wird.

Wo ein Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie seinen Nutzen zeigt

Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.

Integrationsbeispiele

CAD- und Skizzen-Pipelines

Senden Sie gemessene Halbachsen an die API und zeichnen Sie die beiden Scheitel plus die vertikalen Leitlinien-Hilfen aus den zurückgegebenen Feldern.

Technische Fragen

Ist der Rechner für Hyperbel-Scheitel und Leitlinie kostenlos?

Das Browser-Widget ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zum veröffentlichten Basispreis $0.002; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.

Ist das Ergebnis bei gleichen a und b immer dasselbe?

Ja. Der Algorithmus ist reine analytische Mathematik ohne Zufall und ohne Zeitstempel, sodass identische Eingaben identisches JSON erzeugen.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

Hyperbel-Scheitel und Leitlinie

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Was Hyperbel-Scheitel und Leitlinien sind und wie a und b sie festlegen

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Preis

Fehler

Technische Hinweise

Was Hyperbel-Scheitel und Leitlinien sind und wie a und b sie festlegen

Eingabevertrag, Fehler bei Null-Halbachse und Form der Antwort

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CAD- und Skizzen-Pipelines

Technische Fragen

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