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Sommets et directrice d'hyperbole

Avec des demi-axes de 3 et 4, l'hyperbole a ses sommets en (3, 0) et (−3, 0) et ses directrices en x = ±1,8, et vous voyez aussi c égal à 5 et l'excentricité 5/3. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

A: 3
B: 4

Vous obtenez

C: 5
Excentricité: 1,6666666667
Directrice x: 1,8
Directrices: x = 1.8, x = -1.8

Les sommets d'une hyperbole sont les deux points où la courbe rencontre son axe transverse, et les directrices sont le couple de droites fixes de la définition foyer-directrice de la conique. Pour la forme horizontale standard x au carré sur a au carré moins y au carré sur b au carré égale un, les sommets se placent en plus ou moins a sur l'axe des x, tandis que les directrices sont les droites verticales x égale plus ou moins a sur e, avec l'excentricité e égale à c sur a et c égale à la racine carrée de a au carré plus b au carré. Ce calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole accepte des demi-axes a et b positifs, renvoie les deux sommets, les positions et chaînes des directrices ainsi que les valeurs d'appui c et e, et rejette un demi-axe nul car la géométrie dégénère et la division deviendrait indéfinie.

Ce que sont les sommets et les directrices d'une hyperbole, et comment a et b les fixent

Une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence absolue des distances à deux foyers fixes est constante et, de façon équivalente, l'ensemble des points dont la distance à un foyer est e fois la distance à la directrice correspondante, avec une excentricité e strictement supérieure à un. Dans la présentation horizontale standard centrée à l'origine, le lieu s'écrit x au carré sur a au carré moins y au carré sur b au carré égale un, où a est le demi-axe transverse et b le demi-axe conjugué.

Les sommets sont les points de la courbe les plus proches du centre le long de l'axe transverse : ils se situent aux coordonnées a zéro et moins a zéro. L'excentricité linéaire c égale la racine carrée de a au carré plus b au carré, de sorte que les foyers se placent plus loin en plus ou moins c sur l'axe des x. L'excentricité e vaut c sur a et est toujours supérieure à un pour une hyperbole authentique.

Les directrices sont les droites verticales x égale plus ou moins a sur e, ce qui revient à plus ou moins a au carré sur c. Ces droites ne rencontrent jamais la courbe ; elles servent de référence dans la définition foyer-directrice et apparaissent dans les manuels dès que l'on présente l'excentricité, le côté droit ou la forme polaire d'une conique.

Les apprenants confondent souvent les formules de l'ellipse où e est inférieur à un et où la formule de la directrice se ressemble, permutent a et b, ou tentent de tracer des sommets lorsqu'un zéro saisi effondre l'axe transverse.

Où un calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole trouve sa place

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur centré sur les sommets et la directrice d'hyperbole pour que les apprenants vérifient que les sommets sont en plus ou moins a et que les directrices se placent en plus ou moins a sur e sans mélanger les formules d'ellipse ni oublier la seconde directrice.

Les générateurs d'examens et les plugins LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque un demi-axe nul ou négatif comme invalide au lieu de prendre silencieusement une valeur absolue qui masquerait une erreur de l'élève. Les scripts CAD et d'illustration technique ont souvent besoin des points sommets et des guides verticaux de directrice pour esquisser la courbe à côté des foyers et asymptotes d'outils frères.

Les démonstrations de physique et de mécanique orbitale qui connaissent déjà les demi-axes peuvent obtenir sommets et directrices sans intégrer des racines et divisions ad hoc dans chaque cellule de carnet. Une validation échouée ne consomme pas le solde. Gardez les deux demi-axes finis et strictement positifs, traitez les coordonnées de sommet et les chaînes de directrice renvoyées comme des libellés prêts pour l'interface, et ancrez les valeurs arrondies dans les tests afin que devoirs, LMS et workers en bordure partagent une réponse reproductible sans système d'algèbre formelle personnel.

Cas d’usage

Vérifications de devoirs et de classe

Les élèves saisissent les demi-axes a et b et vérifient les sommets (±a, 0) et les directrices x = ±a/e par rapport aux réponses du manuel.

Notation automatique d'examens et LMS

Évaluez les items de sommets et de directrice avec un oracle déterministe qui rejette les demi-axes nuls ou négatifs et n'invente jamais un point.

Questions fréquentes

Comment trouver les sommets et les directrices d'une hyperbole à partir des demi-axes ?

Envoyez des nombres positifs a (demi-axe transverse) et b (demi-axe conjugué).

Que se passe-t-il si a ou b vaut zéro ?

Un demi-axe nul rend les sommets ou les directrices indéfinis ou dégénérés ; ces échecs ne sont pas facturés.

Quelle forme d'hyperbole est supposée ?

La forme horizontale standard x²/a² − y²/b² = 1 centrée à l'origine. Les sommets sont (±a, 0) et les directrices sont les droites verticales x = ±a/e.

Où se trouvent les foyers d'une hyperbole de demi-axes 3 et 4 ?

Sur l'axe transverse, en plus ou moins c, où c est la racine carrée de a au carré plus b au carré. Avec 3 et 4, c vaut 5 : les foyers sont en (5, 0) et (−5, 0), plus loin du centre que les sommets.

Pourquoi les directrices se placent-elles entre les deux sommets ?

Chaque directrice se situe en a divisé par e, et l'excentricité d'une hyperbole est toujours supérieure à un, donc a sur e est plus petit que a. Avec 3 et 4, les directrices tombent en ±1,8, à l'intérieur des sommets en ±3, et ne touchent jamais la courbe.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":3,"b":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 3,
    "b": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 3,
    "b": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":3,"b":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-vertices", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "a": 3,
  "b": 4
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.hyperbola_vertices",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Élèves, générateurs d'examens et scripts de dessin technique peuvent partager un unique résultat JSON déterministe au lieu de recalculer a sur e à la main.

Ce que sont les sommets et les directrices d'une hyperbole, et comment a et b les fixent

Un calculateur dédié de sommets et de directrice d'hyperbole avec entrées positives validées évite ces glissements tout en exposant sommets, coordonnées de directrice, chaînes d'équation et les intermédiaires c et e dans un seul objet JSON pour l'étape suivante d'une solution ou d'un pipeline.

Contrat d'entrée, erreurs de demi-axe nul et forme de la réponse

Les deux demi-axes doivent être strictement positifs. Un demi-axe nul est rejeté avec un message clair car les sommets s'effondreraient à l'origine ou la formule d'excentricité diviserait par zéro, et les longueurs négatives sont rejetées car un demi-axe est une longueur géométrique, non une coordonnée signée. Ces échecs de validation ne sont pas facturés. Exemple : a égal à trois et b égal à quatre donne c égal à cinq, excentricité cinq tiers, sommets en trois zéro et moins trois zéro, et directrices x égal à un point huit et x égal à moins un point huit. Envoyez un objet JSON avec deux champs obligatoires : a pour le demi-axe transverse et b pour le demi-axe conjugué. Les alias semi_transverse et semi_a pour le premier axe et semi_conjugate et semi_b pour le second sont acceptés. Chaque valeur doit être un nombre fini ou une chaîne numérique simple ; les valeurs manquantes, vides, non numériques, NaN et Infinity échouent avec invalid_input en nommant le champ. En cas de succès le corps renvoie a et b, indique c comme excentricité linéaire, eccentricity comme e égale à c sur a, vertices comme la paire ordonnée de points en plus a et moins a sur l'axe des x, directrix_x comme la distance positive a sur e depuis le centre, directrices comme les deux chaînes d'équation verticales, hyperbola_equation pour la conique définissante, orientation horizontal, center à l'origine et une courte chaîne formula. Gardez les requêtes compactes — deux nombres en entrée, un JSON compact en sortie — et ancrez les sommets et directrix_x arrondis dans des tests automatisés pour qu'un futur changement d'arrondi apparaisse immédiatement.

Où un calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole trouve sa place

Comme l'implémentation est un parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.

Cas d'intégration

Pipelines CAD et d'esquisse

Envoyez des demi-axes mesurés à l'API et tracez les deux sommets plus les guides verticaux de directrice à partir des champs renvoyés.

Questions techniques

Le calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole est-il gratuit ?

Le widget du navigateur est gratuit et s'exécute en local. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT au prix de base publié $0.002 ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Le résultat est-il toujours le même pour les mêmes a et b ?

Oui. L'algorithme est une mathématique analytique pure, sans aléatoire ni horodatage, de sorte que des entrées identiques produisent le même JSON.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Ce que sont les sommets et les directrices d'une hyperbole, et comment a et b les fixent

Où un calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole trouve sa place

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Endpoint

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Exemple de réponse

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Ce que sont les sommets et les directrices d'une hyperbole, et comment a et b les fixent

Contrat d'entrée, erreurs de demi-axe nul et forme de la réponse

Où un calculateur de sommets et de directrice d'hyperbole trouve sa place

Cas d'intégration

Pipelines CAD et d'esquisse

Questions techniques

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