Excentricité d'une hyperbole

L'excentricité d'une hyperbole mesure l'ouverture de la courbe par rapport à un cercle : pour toute hyperbole standard, elle est strictement supérieure à un. Étant donné le demi-axe transverse a et le demi-axe conjugué b, la formule fermée e égale la racine carrée de un plus b au carré sur a au carré, ce qui équivaut à l'excentricité linéaire c divisée par a. Cette capacité accepte ces deux longueurs de demi-axe positives et renvoie l'excentricité accompagnée de c, afin que les vérifications de devoirs, les assistants de CAO et les pipelines de géométrie réutilisent un seul résultat déterministe plutôt que de redériver le radical à la main.

Ce que signifie l'excentricité d'une hyperbole

En géométrie des sections coniques, une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence absolue des distances à deux foyers fixes est constante. Cette constante vaut 2a, la longueur complète de l'axe transverse, tandis que la distance du centre à chaque foyer est c. L'excentricité se définit comme e égale c sur a.

Comme les foyers se situent toujours à l'extérieur des sommets d'une hyperbole, c est strictement plus grand que a, si bien que e est toujours supérieur à un — contrairement à une ellipse, où e reste entre zéro et un, ou à une parabole, où e égale un. Le demi-axe conjugué b est lié par l'identité c au carré égale a au carré plus b au carré.

En substituant cette identité dans la définition, on obtient la formule de travail commode e égale la racine carrée de un plus b au carré sur a au carré. Manuels, problèmes de concours et exercices d'analogie orbitale utilisent tous ce nombre sans dimension pour comparer des hyperboles de tailles différentes : deux hyperboles de même e sont semblables ; un e plus grand signifie un angle plus ouvert et plus aigu entre les asymptotes.

Calculer e à la main relève d'une courte algèbre, mais les élèves confondent souvent la formule de l'ellipse avec celle de l'hyperbole, intervertissent a et b, ou oublient que a doit être le demi-axe transverse.

Comment la capacité calcule la réponse

Les deux doivent être finis et strictement positifs ; zéro est rejeté parce que la division par a serait indéfinie ou dégénérée, et toute longueur négative est rejetée parce qu'un demi-axe est une longueur géométrique, non une coordonnée signée. Les deux expressions sont algébriquement équivalentes ; la double sortie vous permet de vérifier e par rapport à c divisé par a dans votre code client si vous le souhaitez. La réponse renvoie a, b, c et l'excentricité sous forme de nombres.

L'algorithme se résume à une poignée de multiplications et à une racine carrée par chemin, si bien qu'il reste largement dans le modèle de coût analytique utilisé pour tarifer cette capacité parse de niveau A.

Où l'utiliser et combien cela coûte

Les usages typiques incluent la vérification de réponses d'élèves demandant l'excentricité à partir de a et b, la génération de lignes de catalogue d'hyperboles semblables partageant e tout en faisant varier a et b, la documentation de la géométrie des asymptotes pour des dessins techniques, et l'alimentation de e dans des classifieurs de coniques plus larges qui connaissent déjà les demi-axes issus d'un ajustement. Le chemin du navigateur s'exécute localement et ne nécessite aucun compte.

Gardez a et b positifs et finis pour que le radical soit bien défini, considérez le c renvoyé comme l'excentricité linéaire vers les foyers, et préférez le champ excentricité calculé par le serveur plutôt que de redériver la racine carrée dans un code client qui pourrait suivre un chemin à virgule flottante différent. Comme le résultat est du calcul déterministe pur, vous pouvez soumettre vos pipelines à des tests de référence sur des couples a et b fixes, sans seuils instables.