Excentricidade da hipérbole
Meça o quanto uma hipérbole se abre a partir dos dois semieixos: 3 e 4 dão distância focal de 5 e excentricidade de 5/3. Toda hipérbole de verdade fica acima de 1, ao contrário da elipse. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 5
- Excentricidade
- 1,6666666667
A excentricidade de uma hipérbole mede o quão acentuadamente a curva se abre em comparação com um círculo: para toda hipérbole padrão, ela é estritamente maior que um. Dados o semieixo transverso a e o semieixo conjugado b, a fórmula fechada e é igual à raiz quadrada de um mais b ao quadrado sobre a ao quadrado, que é a mesma coisa que a excentricidade linear c dividida por a. Esta capacidade aceita esses dois comprimentos positivos de semieixo e retorna a excentricidade junto com c, para que verificações de lição de casa, auxiliares de CAD e pipelines de geometria possam reaproveitar um único resultado determinístico em vez de re-deduzir o radical à mão.
O que significa a excentricidade da hipérbole
Na geometria das seções cônicas, uma hipérbole é o conjunto de pontos cuja diferença absoluta das distâncias a dois focos fixos é constante. Essa constante é 2a, o comprimento total do eixo transverso, enquanto a distância do centro a cada foco é c. A excentricidade é definida como e igual a c sobre a.
Como os focos sempre ficam fora dos vértices de uma hipérbole, c é estritamente maior que a, então e é sempre maior que um — ao contrário de uma elipse, em que e fica entre zero e um, ou de uma parábola, em que e é igual a um. O semieixo conjugado b relaciona-se pela identidade c ao quadrado é igual a a ao quadrado mais b ao quadrado.
Substituir essa identidade na definição dá a conveniente fórmula de trabalho e igual à raiz quadrada de um mais b ao quadrado sobre a ao quadrado. Livros-texto, problemas de olimpíada e exercícios de analogia orbital usam esse número adimensional para comparar hipérboles de tamanhos diferentes: duas hipérboles com o mesmo e são semelhantes; um e maior significa um ângulo mais aberto e agudo entre as assíntotas.
Calcular e à mão é uma álgebra curta, mas os alunos muitas vezes misturam a fórmula da elipse com a da hipérbole, trocam a e b, ou esquecem que a deve ser o semieixo transverso.
Como a capacidade calcula a resposta
Ambos devem ser finitos e estritamente positivos; zero é rejeitado porque a divisão por a ficaria indefinida ou degenerada, e qualquer comprimento negativo é rejeitado porque um semieixo é um comprimento geométrico, não uma coordenada com sinal. As duas expressões são algebricamente equivalentes; a saída dupla permite que você verifique e contra c dividido por a no código do cliente, se quiser. A resposta reporta a, b, c e a excentricidade como números.
O algoritmo é um punhado de multiplicações e uma raiz quadrada por caminho, então permanece bem dentro do modelo de custo analítico usado para precificar esta capacidade parse de tier A.
Onde usá-la e quanto custa
Colocações típicas incluem verificar respostas de alunos que pedem a excentricidade dados a e b, gerar linhas de catálogo de hipérboles semelhantes que compartilham e enquanto escalam a e b, documentar a geometria das assíntotas para desenhos técnicos e alimentar e em classificadores de cônicas maiores que já conhecem os semieixos a partir de um ajuste. O caminho do navegador roda localmente e não precisa de conta.
Mantenha a e b positivos e finitos para que o radical fique bem definido, trate o c retornado como a excentricidade linear até os focos, e prefira o campo de excentricidade calculado no servidor a re-deduzir a raiz quadrada em um código de cliente que possa usar um caminho de ponto flutuante diferente. Como o resultado é matemática pura determinística, você pode fazer testes de referência de pipelines contra pares fixos de a e b sem limiares instáveis.
Casos de uso
Verificações de lição de casa e prova
Confirme a excentricidade de um aluno para semieixos a e b dados contra um único e e c canônicos, em vez de reavaliar raízes quadradas feitas à mão.
Catálogos de hipérboles semelhantes
Escale a e b mantendo e fixo, ou calcule e uma vez por família de forma ao montar tabelas de cônicas para material de design ou de ensino.
Perguntas frequentes
O que acontece se a ou b for negativo?
Os comprimentos de semieixo devem ser comprimentos geométricos estritamente positivos; valores negativos são rejeitados.
A excentricidade é sempre maior que um?
Sim, para uma hipérbole não degenerada com a e b positivos. A fórmula sqrt(1 + b²/a²) é sempre maior que 1 quando b e a são positivos.
Qual é a fórmula da excentricidade de uma hipérbole?
É a raiz quadrada de um mais b ao quadrado sobre a ao quadrado. Isso equivale à distância focal c dividida por a, em que c ao quadrado é a ao quadrado mais b ao quadrado.
Em que ela difere da excentricidade da elipse?
A da elipse fica entre zero e um e a da parábola é exatamente um, enquanto a da hipérbole sempre passa de um. Confundir as fórmulas da elipse e da hipérbole é um dos erros mais comuns.
O que uma excentricidade maior indica?
Que a hipérbole é mais aberta, com um ângulo maior entre as assíntotas. Duas hipérboles com a mesma excentricidade são semelhantes, mesmo com tamanhos diferentes.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.hyperbola_eccentricity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que significa a excentricidade da hipérbole
Automatizar o cálculo com entradas positivas validadas remove esses deslizes e ainda expõe a, b, c e a excentricidade em um único objeto JSON para o próximo passo de uma solução ou pipeline.
Como a capacidade calcula a resposta
Você envia um corpo JSON com dois campos numéricos obrigatórios: a, o semieixo transverso, e b, o semieixo conjugado. O motor analisa números a partir de números JSON ou de strings numéricas simples e, então, calcula c como a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado, e a excentricidade como a raiz quadrada de um mais b ao quadrado sobre a ao quadrado. Campos ausentes, valores não numéricos, zero ou semieixos negativos falham com invalid_input e nunca são cobrados. Não há aleatoriedade, nem dependência de relógio, nem chamada de rede; duas requisições idênticas sempre produzem o mesmo JSON.
Onde usá-la e quanto custa
Use a ferramenta gratuita no navegador quando quiser uma verificação rápida para um único par de semieixos, ou chame a API quando um script, um caderno de notas ou um trabalho de design tiver de resolver muitas hipérboles da mesma forma toda vez. O uso da API debita do saldo pré-pago do KIT ao preço-base publicado de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida; falhas de validação não consomem saldo.
Casos de integração
Preparação de CAD e assíntotas
Passe semieixos medidos de um desenho para a API e armazene a excentricidade ao lado da distância focal c para documentação ou passos de geometria adicionais.
Perguntas técnicas
Como calculo a excentricidade da hipérbole com esta API?
Faça um POST de um corpo JSON com números positivos a (semitransverso) e b (semiconjugado). A resposta inclui a excentricidade e a excentricidade linear c.
A calculadora de excentricidade da hipérbole é grátis?
O widget do navegador é grátis e roda localmente. As chamadas de API usam o saldo pré-pago do KIT ao preço-base publicado de US$ 0,002; entrada inválida não é cobrada.
O resultado é sempre o mesmo para os mesmos a e b?
Sim. O algoritmo é matemática analítica pura, sem aleatoriedade nem carimbos de tempo, então entradas idênticas produzem JSON idêntico.