Calculadora de hipérbole: focos, vértices, excentricidade e assíntotas
Digite os dois semieixos de uma hipérbole e receba todos os seus elementos: semieixos 3 e 4 dão focos em ±5, vértices em ±3, excentricidade 5/3 e assíntotas de inclinação ±4/3. Pronto para gabaritos e esboços. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Semieixo transverso
- 3
- Semieixo conjugado
- 4
- C
- 5
- A ao quadrado
- 9
- B ao quadrado
- 16
- C ao quadrado
- 25
Uma hipérbole em coordenadas retangulares é definida por dois semieixos positivos: a ao longo do eixo transverso e b ao longo do eixo conjugado. A partir desses dois números você recupera a excentricidade linear c como a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado, posiciona os vértices em mais e menos a sobre o eixo x, posiciona os focos em mais e menos c, forma a excentricidade e igual a c sobre a (sempre maior que um para uma hipérbole não degenerada) e lê as inclinações das assíntotas como mais e menos b sobre a.
O que significam os semieixos e como as fórmulas funcionam
Comece pela equação horizontal padrão x ao quadrado sobre a ao quadrado menos y ao quadrado sobre b ao quadrado igual a um, com o centro na origem e o eixo transverso ao longo de x. O parâmetro a é o semieixo transverso: cada vértice está em (a, 0) e (−a, 0), de modo que a distância do centro a um vértice é exatamente a. O parâmetro b é o semieixo conjugado; juntos, a e b constroem o retângulo que tangencia as assíntotas e fixa a abertura dos ramos.
A excentricidade linear é c igual à raiz quadrada positiva de a ao quadrado mais b ao quadrado — sempre maior que a quando b é positivo, o que força a excentricidade e igual a c sobre a a superar um. Os dois focos estão em (c, 0) e (−c, 0). As assíntotas são as retas y igual a (b sobre a) x e y igual a menos (b sobre a) x, portanto as inclinações das assíntotas informadas são simplesmente mais e menos b sobre a.
Uma verificação clássica é a igual a três e b igual a quatro: então c igual a cinco, e igual a cinco terços, vértices em mais e menos três sobre o eixo x, focos em mais e menos cinco e inclinações mais e menos quatro terços. Cada etapa é aritmética elementar e uma raiz quadrada sobre dois escalares positivos, portanto não há iteração, nem amostragem, nem dependência do relógio.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: três e quatro para a verificação pitagórica c igual a cinco; cinco e doze para outro c inteiro; e uma tentativa não positiva, como a igual a zero ou b negativo, para demonstrar o caminho de rejeição dura que protege quem chama de uma figura degenerada.
Esta página atende quem busca uma calculadora de hipérbole, uma ferramenta de focos e vértices ou um auxiliar de inclinação de assíntotas; ela não é uma calculadora de elipse — elipses usam c ao quadrado igual a a ao quadrado menos b ao quadrado, com excentricidade menor que um. Prefira esta ferramenta quando o livro fornece os semieixos a e b da forma horizontal e você precisa de focos, vértices, e e inclinações de uma só vez.
Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que c ao quadrado é igual a a ao quadrado mais b ao quadrado, que e é igual a c sobre a e que as inclinações das assíntotas são mais e menos b sobre a dentro da tolerância de ponto flutuante.
Casos de uso
Gabaritos de aulas de pré-cálculo e geometria analítica
Gere números de gabarito para hipérboles horizontais sem um CAS, incluindo strings de equação e pares de inclinações para listas de exercícios.
Esboços de engenharia que precisam de focos e assíntotas
Recupere rapidamente a distância interfocal e as inclinações das assíntotas quando o briefing de projeto lista apenas os dois semieixos de um ramo hiperbólico.
Perguntas frequentes
Quais entradas a calculadora de hipérbole precisa?
Dois números positivos: a (semieixo transverso) e b (semieixo conjugado).
Como os focos são calculados?
Primeiro forme c = sqrt(a² + b²). Para a hipérbole horizontal padrão, os focos estão em (c, 0) e (−c, 0).
O que é a excentricidade de uma hipérbole?
Excentricidade e = c/a com c = sqrt(a² + b²). Para quaisquer a e b positivos, e é estritamente maior que 1.
Quais são as inclinações das assíntotas?
Para x²/a² − y²/b² = 1 as assíntotas são y = ±(b/a)x, portanto as inclinações são +b/a e −b/a.
A calculadora de hipérbole é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.hyperbola",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
min_positive | 1e-15 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta capacidade empacota esse caminho em forma fechada numa única resposta JSON determinística, de modo que estudantes conferindo lição, professores montando gabaritos e engenheiros verificando geometria de assíntotas orbitais ou ópticas obtenham os mesmos valores arredondados na ferramenta gratuita do navegador e no caminho pago da API — sem sistema de álgebra computacional, sem sementes aleatórias e sem chamada de rede dentro do solucionador.
Como chamar a API e o que ela devolve
Use a partir de pipelines de lição de geometria analítica, scripts de revisão de pré-cálculo, ambientes de preparação para entrevistas, esboços de óptica e alcance de rádio que precisam de inclinações de assíntotas, ou qualquer fluxo que precise de elementos de hipérbole reproduzíveis sem instalar um pacote de álgebra computacional em cada máquina. Envie um corpo JSON com dois campos obrigatórios. O campo a é o semieixo transverso positivo; os alias semi_transverse e semi_a são aceitos. O campo b é o semieixo conjugado positivo; os alias semi_conjugate e semi_b têm o mesmo significado. Em caso de sucesso, a resposta ecoa a e b, acrescenta c, a_squared, b_squared, c_squared, eccentricity, vertices como dois pontos, foci como dois pontos, asymptote_slopes como o par mais e menos b sobre a, strings legíveis das assíntotas, a string da equação padrão, orientation horizontal, transverse_axis x, center na origem e um pequeno bloco de fórmula documentando as formas fechadas. Uma validação que falha — campo obrigatório ausente, número não finito, semieixo não positivo, valor fora dos limites publicados ou um c recuperado que estoura a faixa — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um valor fixo de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida, com item unitário e preço unitário marginal zero.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha a e b dentro do intervalo positivo publicado, até um trilhão, para que os quadrados intermediários e a soma sob o radical permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você passar — metros, unidades astronômicas ou unidades puramente abstratas — desde que a e b usem a mesma unidade; a API não converte unidades para você. Como a excentricidade é sempre maior que um para a e b positivos, os estudantes podem recalcular c e e à mão com inteiros pequenos e conferir a API linha por linha. Tarefas que falham e devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém scripts exploratórios baratos quando os usuários digitam semieixos impossíveis enquanto aprendem o contrato.
Casos de integração
Verificação de lição dos elementos da hipérbole padrão
Dê aos estudantes os semieixos a e b; compare c, excentricidade, vértices, focos e inclinações das assíntotas calculados à mão com o resultado determinístico da API ou do navegador.